cho đa thức A(x)=x^3-x^2+ax+b-2 và đa thức B(x)=x^2-2x+3 với a;b thuộc R xác định hệ số a;b để A(x):B(x) có số dư bằng 6

Để xác định hệ số a và b sao cho thương số A(x) chia cho B(x) có số dư bằng 6, chúng ta sẽ sử dụng Định lý phần dư. Theo định lý này, nếu một đa thức A(x) được chia cho một đa thức B(x), thì số dư của phép chia đó là A(r), trong đó r là nghiệm của đa thức B(x).

Trước tiên, chúng ta cần tìm các nghiệm của B(x) = x^2 - 2x + 3. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

x = [ -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a,

với a = 1, b = -2 và c = 3.

Tính biệt thức D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 413 = 4 - 12 = -8. Bởi vì D < 0, B(x) không có nghiệm thực (chỉ có nghiệm phức). Tuy nhiên, chúng ta vẫn cần phải tính giá trị của A(x) tại bất kỳ hai nghiệm phức đó. Sử dụng công thức nghiệm phức, ta có:

x1 = 1 + i√2 và x2 = 1 - i√2.

Chúng ta có thể chọn một trong hai nghiệm để tính. Giả sử ta chọn x1 = 1 + i√2.

Bây giờ ta tính A(x1):

A(x1) = (1 + i√2)^3 - (1 + i√2)^2 + a(1 + i√2) + b - 2.

Ta tính từng phần:

1. (1 + i√2)^2 = 1 + 2i√2 - 2 = -1 + 2i√2.
2. (1 + i√2)^3 = (1 + i√2)(-1 + 2i√2) = -1 + 2i√2 - i√2 + 2(i√2)^2 = -1 + i√2 - 4 = -5 + i√2.

Vậy:

A(x1) = (-5 + i√2) - (-1 + 2i√2) + a(1 + i√2) + b - 2.

Tính các thành phần:

-5 + i√2 + 1 - 2i√2 + a(1 + i√2) + b - 2
= (-6 + b) + (a - 1)i√2.

Theo định lý phần dư, số dư A(x1) phải bằng 6. Điều này có nghĩa là:

1. Phần thực: -6 + b = 6.
2. Phần ảo: (a - 1)i√2 = 0.

Giải hệ phương trình trên:

1. Từ -6 + b = 6, ta có b = 12.
2. Từ (a - 1)i√2 = 0, ta có a - 1 = 0, tức là a = 1.

Cuối cùng, hệ số cần tìm là a = 1 và b = 12.