Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi E là trung điểm SC, F là giao điểm SO và AE, G là trọng tâm tam giác SCD. Chứng minh FG// BC. Tính FG/BC.

Để chứng minh rằng FG // BC trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ta sẽ xem xét các đặc điểm hình học và tọa độ của các điểm trong không gian.

Bước 1: Thiết lập tọa độ các điểm

- Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm có tọa độ:
- A (0, 0, 0)
- B (a, 0, 0)
- C (a + b, c, 0)
- D (b, c, 0)
- Hình bình hành ABCD có các cạnh AB // CD và AD // BC, vì vậy tọa độ các điểm là chính xác cho hình bình hành.

- Giả sử điểm S nằm trên trục z (S (x0, y0, h)), với h > 0.

Bước 2: Tìm giao điểm O của AC và BD

- Tìm phương trình đường thẳng AC và BD:
- AC: điểm A đến C
- BD: điểm B đến D

- Giao điểm O sẽ cho ta tọa độ của O. Do AC và BD là các đường chéo của hình bình hành, O sẽ là trung điểm của các cạnh AC và BD.

Bước 3: Xác định E, F, G

- E là trung điểm của SC, có tọa độ:
E = ((x0 + (a + b))/2, (y0 + c)/2, h/2)

- F là giao điểm của đường thẳng SO và AE. Tìm phương trình cho SO và AE (2 đường thẳng), giải để tìm tọa độ của F.

- G là trọng tâm tam giác SCD, được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của các đỉnh S, C, D.

Bước 4: Chứng minh FG // BC

- Để chứng minh hai đường thẳng FG và BC song song, chúng ta có thể xem xét vec-tơ chỉ phương của chúng.

- Tính vec-tơ chỉ phương của FG:
- E - G = (xE - xG, yE - yG, zE - zG)

- Tính vec-tơ chỉ phương của BC:
- B - C = (a - (a + b), 0 - c, 0 - 0) = (-b, -c, 0)

- Ta thấy rằng nếu vec-tơ FG có dạng k * vec-tơ BC, với k là một số thực thì FG // BC.

Bước 5: Tính tỉ lệ FG/BC

- Tính độ dài của FG và BC.
- Độ dài BC = |B - C| = sqrt(b^2 + c^2).
- Độ dài FG được tính bằng cách sử dụng tọa độ của F và G.

- Cuối cùng, tỉ lệ FG/BC sẽ là độ dài của FG chia cho độ dài của BC.

Thông qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được FG // BC và tính được tỉ lệ FG/BC.