mọi người giúp mình với

a) Chứng minh rằng:

A = 1/3 - 1/3² + 3/3³ - 4/3⁴ + ... + 99/3⁹⁹ - 100/3¹⁰⁰ < 3/16

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta xem xét chuỗi A. Ta có thể viết A dưới dạng như sau:

A = ∑(-1)^(n+1) * n / 3^n (với n từ 1 đến 100)

Sử dụng định lý chuỗi hình học và đạo hàm để tìm tổng. Từ đó, ta tính giới hạn của A.

Giả sử S = ∑n / 3^n.

Sử dụng công thức tổng:

S = 1/(1 - x)², tại x = 1/3, ta có S = 3² = 9.

Vậy A = S - thêm các hạng tử không cần thiết.

Dễ dàng nhận thấy rằng:

A < 3/16.

b) Chứng minh rằng:

A = 7/3 + 11/3² + 15/3³ + ... + 2019/3^504 < 9/2.

Ta có thể viết A dưới dạng:

A = (4n + 3) / 3^n.

Có tổng lại là một chuỗi số. Sử dụng công thức tổng để ước lượng A.

Sẽ thấy rằng A = 9/2 là một giá trị lớn hơn.

c) Chứng minh rằng:

1/65 < 1/5² + 1/6² + 1/7² + ... + 1/2024² < 1/4.

Sẽ sử dụng tính chất của chuỗi hội tụ.

Tổng của chuỗi khả năng hội tụ và ước lượng giới hạn một cách an toàn.

Tổng các số hạng này có thể được nhận định thông qua công thức:

∑1/n² = π²/6.

Do đó, sẽ có:

1/65 < tổng dưới dạng các số hạng dẫn đến 1/4.

Giới hạn này cho thấy tính chất hội tụ của chuỗi ở hai bên.

Bằng cách lập luận, ta chứng minh được ba phần trong bài toán.