`x^2 + y^2 + 2 >= 2(x+y) `

Để giải bất phương trình x^2 + y^2 + 2 >= 2(x + y), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách đưa tất cả các thành phần về một phía.

Bắt đầu với bất phương trình:

x^2 + y^2 + 2 >= 2(x + y)

Chuyển tất cả sang một bên:

x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 >= 0

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các số lại theo cách thuận tiện hơn. Gọi cụ thể các phần tử thành phần:

x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 >= 0

Tiếp theo, chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho hai phần x và y:

x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 và y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1.

Thay vào bất phương trình ta có:

((x - 1)^2 - 1) + ((y - 1)^2 - 1) + 2 >= 0
=> (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 + 2 >= 0
=> (x - 1)^2 + (y - 1)^2 >= 0.

Bất phương trình (x - 1)^2 + (y - 1)^2 >= 0 luôn luôn đúng vì bình phương của bất kỳ số nào cũng không âm. Điều này có nghĩa là tổng của hai bình phương, dù thế nào cũng sẽ không bao giờ âm.

Kết luận: Bất phương trình x^2 + y^2 + 2 >= 2(x + y) là đúng với mọi giá trị của x và y.