Cho tứ diện ABCD, điểm M trên cạnh AB. Gọi  (R) là mặt phẳng đi qua M và song song với AC và BD. a, Xác định giao tuyến của mp(R) với mp(ABC), (ACD), (BCD), (ABD). b, Giả sử M của điều kiện MA=1/2 MB, N là giao điểm của (R) với

a. Để xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (BCD), (ABD), ta cần xem xét vị trí của điểm M và các đường thẳng.

1. Mặt phẳng (ABC):
- Mặt phẳng (R) đi qua điểm M và song song với các cạnh AC và BD. Do đó, mặt phẳng (R) sẽ cắt mặt phẳng (ABC) trên đường thẳng qua M song song với AC.
- Gọi giao tuyến giữa (R) và (ABC) là đường thẳng d1. Ta có d1 là đường thẳng đi qua điểm M, song song với AC.

2. Mặt phẳng (ACD):
- Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (ACD) trên đường thẳng d2. Đường thẳng d2 cũng sẽ qua M và song song với BD vì mặt phẳng (R) song song với BD.
- Do đó, d2 cắt (ACD) tại điểm N nào đó trên CD.

3. Mặt phẳng (BCD):
- Giao điểm của (R) với (BCD) sẽ cho đường thẳng d3. Đường thẳng d3 có thể coi là đi qua M và song song với AC, do đó cắt (BCD) tại điểm P.

4. Mặt phẳng (ABD):
- Cuối cùng, giao tuyến giữa (R) và mặt phẳng (ABD) là đường thẳng d4. Do M nằm trên AB, ta nhận thấy d4 cắt (ABD) tại một điểm Q đi qua M và song song với BD.

b. Giả sử MA = 1/2 MB, tức là điểm M chia đoạn AB thành hai phần, với phần MA bằng một nửa phần MB.

- Gọi độ dài của AB là x, vậy MA = 1/2 MB nên ta có MA + MB = x.
- Ta có thể mô tả điểm M như sau: MA = x/3 và MB = 2x/3.

Tiếp theo, ta phải xem xét giao điểm N của mặt phẳng (R) với cạnh CD. Theo tính chất giao nhau của hai mặt phẳng, ta có thể thiết lập tỉ số đoạn thắng đường thẳng MN trên CD.

- Với CN và ND, tỉ số CN/ND sẽ phụ thuộc vào tỉ lệ mà M chia đoạn AB. Từ định lý tương ứng, với MA = 1/2 MB, ta có thể viết tỉ số theo dạng:

CN/ND = MA/MB = (x/3)/(2x/3) = 1/2.

Do đó, tỉ số CN/ND = 1/2.