Tìm m để hàm số y=x^3+3mx^2-3(m^2-1)x-2m+3 đồng biến trên khoảng (1;2)

Để tìm m để hàm số y=x^3+3mx^2-3(m^2-1)x-2m+3 đồng biến trên khoảng (1;2), ta cần kiểm tra đạo hàm của hàm số này.

Đầu tiên, tính đạo hàm y' của hàm số:

y' = 3x^2 + 6mx - 3(m^2 - 1)

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2), đạo hàm y' phải không âm trên khoảng này, tức là y' ≥ 0 với mọi x thuộc (1; 2).

Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số y' tại các điểm 1 và 2:

1. Tại x = 1:
y'(1) = 3(1)^2 + 6m(1) - 3(m^2 - 1)
= 3 + 6m - 3m^2 + 3
= 6 + 6m - 3m^2

2. Tại x = 2:
y'(2) = 3(2)^2 + 6m(2) - 3(m^2 - 1)
= 3(4) + 12m - 3(m^2 - 1)
= 12 + 12m - 3m^2 + 3
= 15 + 12m - 3m^2

Bây giờ, để y' không âm trên khoảng (1;2), ta cần:

1. 6 + 6m - 3m^2 ≥ 0 (tại x = 1)
2. 15 + 12m - 3m^2 ≥ 0 (tại x = 2)

Giải bất phương trình 1:

6 + 6m - 3m^2 ≥ 0
=> -3m^2 + 6m + 6 ≥ 0
=> 3m^2 - 6m - 6 ≤ 0
=> m^2 - 2m - 2 ≤ 0

Giải phương trình m^2 - 2m - 2 = 0 bằng công thức nghiệm:

m = [2 ± √(4 + 8)] / 2 = [2 ± √12] / 2 = [2 ± 2√3] / 2 = 1 ± √3

Đặt m1 = 1 - √3 và m2 = 1 + √3. Vậy nghiệm của bất phương trình này sẽ nằm trong khoảng:

1 - √3 ≤ m ≤ 1 + √3

Tiếp theo, giải bất phương trình 2:

15 + 12m - 3m^2 ≥ 0
=> -3m^2 + 12m + 15 ≥ 0
=> 3m^2 - 12m - 15 ≤ 0
=> m^2 - 4m - 5 ≤ 0

Giải phương trình m^2 - 4m - 5 = 0:

m = [4 ± √(16 + 20)] / 2 = [4 ± √36] / 2 = [4 ± 6] / 2

Có thể có 2 nghiệm: m1’ = 5 và m2’ = -1. Nghiệm của bất phương trình này là:

-1 ≤ m ≤ 5

Cuối cùng, để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2), m phải thỏa mãn cả hai bất phương trình:

1 - √3 ≤ m ≤ 1 + √3
-1 ≤ m ≤ 5

Kết hợp 2 khoảng trên, ta cần tìm giao của hai khoảng:

Khoảng (1 - √3, 1 + √3) ≈ (-0.732, 3.732)
Khoảng [-1, 5] = (-1, 5)

Giao của hai khoảng này là:

-0.732 ≤ m ≤ 3.732.

Vậy đáp án cuối cùng cho m là:

m thuộc khoảng [-0.732, 3.732].