tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

\[ M = \frac{4x - 1}{x^2 + 5}, \]

ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số M.

Áp dụng quy tắc đạo hàm thương, ta có:

\[ M' = \frac{(x^2 + 5)(4) - (4x - 1)(2x)}{(x^2 + 5)^2}. \]

Bước 2: Đặt tử số bằng 0 để tìm điểm cực trị.

Tử số sẽ là:

\[ 4(x^2 + 5) - (4x - 1)(2x) = 0. \]

Rút gọn biểu thức:

\[ 4x^2 + 20 - (8x^2 - 2x) = 0, \]
\[ -4x^2 + 2x + 20 = 0, \]
\[ 4x^2 - 2x - 20 = 0. \]

Chia cho 2:

\[ 2x^2 - x - 10 = 0. \]

Bước 3: Giải phương trình bậc hai.

Sử dụng công thức nghiệm:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

Với \( a = 2, b = -1, c = -10 \):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{1 \pm 9}{4}. \]

Nên ta có hai giá trị là:

\[ x_1 = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2. \]

Bước 4: Tính giá trị M tại các điểm cực trị.

Tính \( M(2.5) \):

\[ M(2.5) = \frac{4(2.5) - 1}{(2.5)^2 + 5} = \frac{10 - 1}{6.25 + 5} = \frac{9}{11.25} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}. \]

Tính \( M(-2) \):

\[ M(-2) = \frac{4(-2) - 1}{(-2)^2 + 5} = \frac{-8 - 1}{4 + 5} = \frac{-9}{9} = -1. \]

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.

So sánh:

- \( M(2.5) = \frac{4}{5} \),
- \( M(-2) = -1 \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của M là

\[ -1. \]