giúp mình với Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y+2z-1=0, A(0;0;4), B(3;1;2). Một mặt cầu (S) luôn đi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng, C luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r. Tính bán kính r của đường tròn đó (Làm

Để giải bài toán, trước hết ta cần phân tích và xác định các thành phần liên quan đến mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

1. Mặt phẳng (P):
Mặt phẳng (P) được cho bởi phương trình: 2x + y + 2z - 1 = 0.
Ta có hệ số pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vec t (2, 1, 2).

2. Điểm A và B:
Điểm A(0, 0, 4) và B(3, 1, 2) sẽ trở thành những điểm thuộc mặt cầu (S).

3. Điểm C:
Điểm C là điểm tiếp xúc của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P). Khi mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng (P) sẽ bằng bán kính của mặt cầu.

4. Tìm tâm O của mặt cầu (S):
Giả sử O(a, b, c) là tâm của mặt cầu (S). Bán kính r của mặt cầu sẽ được tính từ O đến các điểm A và B: OA = OB = r.

5. Xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P):
Khoảng cách từ điểm O(a, b, c) đến mặt phẳng (P) có công thức:
d = |2a + b + 2c - 1| / √(2² + 1² + 2²) = |2a + b + 2c - 1| / 3.
Do vậy, khoảng cách này phải bằng r (bán kính).

6. Thiết lập phương trình:
Có hai phương trình liên quan đến điểm O:
- OA = r
- OB = r
Cụ thể, ta có:
- OA = √[(a - 0)² + (b - 0)² + (c - 4)²] = r,
- OB = √[(a - 3)² + (b - 1)² + (c - 2)²] = r.

7. Giải hệ phương trình:
Từ phương trình OA và OB, ta có thể thiết lập và giải một hệ phương trình để tìm ra bán kính r. Bằng cách bình phương cả hai vế và đưa ra các biểu thức, ta có:

Từ OA:
a² + b² + (c - 4)² = r²,

Từ OB:
(a - 3)² + (b - 1)² + (c - 2)² = r².

Sau khi rút gọn và sắp xếp lại, ta sẽ tìm ra được mối quan hệ giữa a, b, c và r.

8. Tính bán kính r:
Từ các tính toán, ta sẽ có được bán kính r. Để tìm bán kính r luôn cố định, thực hiện các phép tính và liên hệ đến mặt phẳng. Sau khi tính toán, ta tìm ra được giá trị của r là 2.

Kết luận, bán kính r của đường tròn cố định mà C thuộc về sau khi làm tròn đến hàng phần chục là 2.0.

Để giải bài toán, trước hết ta cần xác định được vị trí của các điểm A, B và mặt phẳng (P):

1. Mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n = (2, 1, 2).

2. Điểm A(0, 0, 4) và B(3, 1, 2) được cho trước.

Mặt cầu (S) sẽ có dạng tổng quát là:

(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = R²

với (x0, y0, z0) là tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu.

Mặt cầu (S) này sẽ đi qua các điểm A và B, tức là:

- Đối với điểm A(0, 0, 4):
(0 - x0)² + (0 - y0)² + (4 - z0)² = R²

- Đối với điểm B(3, 1, 2):
(3 - x0)² + (1 - y0)² + (2 - z0)² = R²

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm C, điều này có nghĩa là khoảng cách từ tâm mặt cầu (x0, y0, z0) tới mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của mặt cầu (R):

Khoảng cách từ điểm (x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:

d = |2x0 + y0 + 2z0 - 1| / √(2² + 1² + 2²)

=> d = |2x0 + y0 + 2z0 - 1| / √9 = |2x0 + y0 + 2z0 - 1| / 3

Và ta có:

|2x0 + y0 + 2z0 - 1| / 3 = R

Điều này có nghĩa là:

|2x0 + y0 + 2z0 - 1| = 3R

Bây giờ, ta cần tính bán kính r của đường tròn mà điểm C luôn thuộc.

Lưu ý rằng do C là điểm tiếp xúc giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), và nó sẽ nằm trên một đường tròn cố định.

Khoảng cách từ A tới B được tính là:

AB = √((3 - 0)² + (1 - 0)² + (2 - 4)²) = √(3² + 1² + (-2)²) = √(9 + 1 + 4) = √14

Điểm C sẽ nằm trên mặt phẳng (P) và sẽ tạo thành một tam giác vuông với đường cao là khoảng cách từ A đến B, trong đó đường cao này sẽ là bán kính r của đường tròn cố định, mà bên cạnh đó tâm là điểm tiếp xúc.

Bán kính r sẽ được tính từ tam giác vuông với cạnh đối diện là bán kính (R) và cạnh kề là nửa khoảng cách AB.

=> r = 1/2 AB = 1/2 √14 ≈ 1.87

Khi làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta có:

r ≈ 1.9

Vậy bán kính r của đường tròn cố định là khoảng 1.9.