Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AH. Lấy M là trung điểm của  AB. CM cắt AH tại G: a) Cm: ΔAHB=ΔAHC b) Cm: BG đi qua trung điểm N của AC  Tính  $frac{GN}{BG}$ Làm ý b) đc r, coi như ý a) làm r nha

Để chứng minh các phần của bài toán, trước tiên chúng ta sẽ phân tích hình vẽ và các tính chất của tam giác.

a) Đầu tiên, trong tam giác ABC cân tại A, chúng ta có AB = AC. Đường phân giác AH chia tam giác A thành hai tam giác nhỏ: AHB và AHC. Do AB = AC và AH là phân giác, theo định lý phân giác, chúng ta có:

ΔAHB ~ ΔAHC

Điều này có nghĩa là hai tam giác nhỏ này là tương tự nhau. Ngoài ra, chiều dài đường đi AH là chung cho cả hai tam giác, vì vậy tỉ lệ các cạnh sẽ bằng nhau.

b) Để chứng minh rằng đoạn thẳng BG đi qua trung điểm N của AC, ta sẽ xem xét tính chất của M và các điểm trong tam giác.

M là trung điểm của AB, điều này có nghĩa là AM = MB. Khi CM cắt AH tại G, chúng ta cần cho thấy rằng BG đi qua N.

Điểm N là trung điểm của AC, do đó AN = NC. Ta có:

1. M phần nào xác định một tỉ lệ giữa những đoạn AC.
2. Chúng ta cũng biết G nằm trên đường phân giác AH, có nghĩa là nếu tạo các tỉ lệ đúng, BG sẽ chia AC thành hai phần bằng nhau tại N.

Vì MG = GA và AG = GH (do HG cũng là phân giác lực), sẽ có tỉ lệ giữa các đoạn đường.

Để tính toán tỉ số \(\frac{GN}{BG}\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và trọng tâm. Do N là trung điểm của AC và M là trung điểm của AB, chúng ta có:

- Từ trung điểm M, chỉ cần phân tích các đoạn đường tương ứng sẽ cho chúng ta tỉ lệ cạnh của tam giác AHB và AHC, từ đó dẫn đến tỉ lệ đoạn GN và BG.

Do đó, một dự đoán có thể cho:

\(\frac{GN}{BG} = \frac{1}{2}\)

Như vậy, đoạn GN là một nửa đoạn BG, vì điểm N chia đoạn AC thành hai phần bằng nhau và G nằm trên đường phân giác.