Chứng minh giúp e với ạ

Để chứng minh các tính chất của vectơ trong bài toán trên, ta sẽ đi từng tính chất một.

1. Giao hoán:
Ta cần chứng minh rằng \( \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{a} \).
Phép nhân giữa hai vectơ, theo định nghĩa trong đại số vectơ, có tính giao hoán. Điều này có thể thấy qua cách tính tích vô hướng giữa hai vectơ, nghĩa là:
\[
\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta
\]
Trong đó \( \theta \) là góc giữa hai vectơ. Vì \( \cos \theta = \cos (-\theta) \), ta suy ra \( \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{a} \).

2. Phân phối:
Ta cần chứng minh rằng \( \bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} \).
Theo định nghĩa, ta có:
\[
\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = |\bar{a}| \cdot |(\bar{b} + \bar{c})| \cdot \cos \theta
\]
Trong đó \( \theta \) là góc giữa \( \bar{a} \) và tổng của \( \bar{b} \) và \( \bar{c} \). Phép cộng của hai vectơ cũng có tính chất phân phối khi tính tích vô hướng.

3. Phép nhân với số k:
Chúng ta cần chứng minh rằng \( (k \bar{a}) \cdot \bar{b} = k (\bar{a} \cdot \bar{b}) \).
Rõ ràng, khi nhân một vectơ với một số thực \( k \), ta có:
\[
(k \bar{a}) \cdot \bar{b} = k (\bar{a} \cdot \bar{b})
\]
Điều này thể hiện rằng phép nhân với một số thực là đồng nhất và duy trì giá trị tích vô hướng.

4. Điều kiện \( a^2 \geq 0 \) và \( \bar{a}^2 = 0 \iff \bar{a} = \overline{0} \):
\( \bar{a}^2 \) là bình phương độ dài của vectơ \( \bar{a} \). Do đó, \( \bar{a}^2 \) luôn không âm. Cụ thể:
\[
\bar{a}^2 = |\bar{a}|^2 \geq 0
\]
Và khi \( \bar{a}^2 = 0 \), điều này chỉ xảy ra khi độ dài của vectơ này bằng 0, tức là \( \bar{a} = \overline{0} \).

Các tính chất này là cơ sở quan trọng trong việc làm việc với các vectơ trong toán học và vật lý, và chúng chứng minh cho các quy tắc cơ bản trong phép nhân và phép cộng vectơ.