giúp mình cần câu c với

Để giải phương trình đã cho trong câu c, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng \( x \in (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \).

Phương trình cần giải là:
\[
\cos 2x + m \cdot \sin x + m - 3 = 0
\]

Ta trước tiên sẽ viết lại phương trình:
\[
\cos 2x + m \cdot \sin x + (m - 3) = 0
\]

Sử dụng công thức lượng giác, ta có thể thay thế \( \cos 2x \) bằng \( 2\cos^2 x - 1 \):
\[
2\cos^2 x - 1 + m \sin x + (m - 3) = 0
\]
\[
2\cos^2 x + m \sin x + (m - 4) = 0
\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là:
1. Độ đa thức (bậc) cần phải là 2, tức là hệ số của \( \cos^2 x \) không được bằng 0.
2. Phương trình cần có 2 nghiệm trong khoảng cho trước.

Tính toán các giá trị trọng yếu:
- Để có nghiệm trong khoảng, ta xét hàm số:
\[
f(x) = 2\cos^2 x + m \sin x + (m - 4)
\]
Hàm sẽ có 2 nghiệm phân biệt nếu \( f(x) \) cắt trục hoành tại 2 điểm trong khoảng \( (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \).

Sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm \( f(x) \). Tính đạo hàm:
\[
f'(x) = -4\cos x \sin x + m \cos x
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \), giải ra:
\[
\cos x (m - 4\sin x) = 0
\]
Từ đó, ta có:
1. \( \cos x = 0 \) dẫn đến \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \) (không nằm trong khoảng \( (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \)).
2. \( m - 4\sin x = 0 \) dẫn đến \( m = 4\sin x \).

Chúng ta tìm \( m \) bằng cách thay \( x \) nằm trong phạm vi \( (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \):
- Lưu ý rằng \( \sin x \) đạt giá trị cực đại trong khoảng này, tức là \( \sin(5\pi/2) = 1 \) và \( \sin(2\pi) = 0 \).
- Như vậy, giá trị \( m \) lớn nhất là 4 khi \( \sin x \) đạt giá trị cực đại tại \( x = \frac{5\pi}{2} \).

Vậy tổ hợp các điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt tại khoảng \( x \in (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \) là \( 0 < m < 4 \).

Tóm lại, giá trị của \( m \) cần tìm trong câu c là:
\[
0 < m < 4
\]