Trong một mặt phẳng tọa độ oxy, cho parabol (p) : y=x^2 và đường thẳng (d) y=(m+2) x-m a) chứng minh ( d) luôn cắt (p) tại 2 điểm 18 phân biệt b) gọi x1 và x2 là Hoành độ giao điểm của (d) và (p). Tìm tất cả

Ta sẽ giải bài toán theo từng phần.

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại 2 điểm phân biệt.

Đường thẳng (d) được cho bởi phương trình:
y = (m+2)x - m

Parabol (p) có phương trình:
y = x^2

Để tìm giao điểm giữa hai đồ thị, ta đặt:
(m+2)x - m = x^2

Sắp xếp lại, ta có phương trình bậc 2:
x^2 - (m+2)x + m = 0

Áp dụng định lý Delat:
Δ = (m + 2)^2 - 4m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4

Để (d) luôn cắt (p) tại 2 điểm phân biệt, discriminant Δ phải lớn hơn 0.

m^2 + 4 > 0

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của m, vì m^2 ≥ 0 và 4 > 0.

Vậy (d) luôn cắt (p) tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi x1 và x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (p). Tìm tất cả các giá trị của m để 1/x1 + 1/x2 = 1/(x1 + x2 - 2).

Từ phương trình bậc 2 đã có, theo định lý Viète, ta có:
x1 + x2 = m + 2 và x1 * x2 = m.

Ta thay vào biểu thức cần tìm:

1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1 * x2) = (m + 2) / m

Và vế bên phải:
1/(x1 + x2 - 2) = 1/(m + 2 - 2) = 1/m

Ta có phương trình:
(m + 2) / m = 1/m

Nhân chéo:
m + 2 = 1

Giải ra:
m = -1.

Vậy giá trị của m để thỏa mãn điều kiện là m = -1.