Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Một đường thẳng qua O cắt AD tại P, Cắt BC tại Q a, Chứng minh AP=CQ b, qua P kẻ Px vuông góc AC qua Q kẻ Oy vuông góc BD. Gọi M là giao điểm của Px

b. Để chứng minh tứ giác OFME là hình gì, ta sẽ dựa vào các thuộc tính của hình vuông và các đường thẳng vuông góc.

1. Các điểm và hình vuông:
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
- Trong hình vuông ABCD, O sẽ là trung điểm của cả AC và BD. Do đó, OA = OC và OB = OD.
- Điểm P nằm trên AD, và Q nằm trên BC. Điều này có nghĩa là OA và OB là hai đường chéo của hình vuông.

2. Kẻ đường vuông góc:
- Px vuông góc với AC: Do đó, Px sẽ tạo với AC một góc 90 độ.
- Qy vuông góc với BD: Do đó, Qy cũng tạo với BD một góc 90 độ.

3. Tính chất của giao điểm:
- M là giao điểm của hai đường thẳng Px và Qy. Bởi vì Px và Qy vuông góc với hai đường chéo (AC và BD), M có thể là trung điểm trên đoạn thẳng nối từ O đến một trong các đỉnh của hình vuông ABCD.

4. Phân tích tứ giác OFME:
- Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông. Tứ giác OFME được tạo thành từ các điểm O, F, M và E.
- Bởi vì M là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc, tứ giác OFME sẽ có tính chất đối xứng qua giao điểm O.

Kết luận: Tứ giác OFME là hình chữ nhật. Bởi vì tứ giác này có các góc vuông (do các đoạn thẳng Px và Qy vuông góc với các đường chéo) và có các cạnh đối diện song song (do thuộc tính của hình vuông và các đoạn thẳng kẻ vuông góc).

c. Để chứng minh M nằm trên BC, ta cần phân tích vị trí của M:

1. Điều kiện của M:
- M là giao điểm của hai đường thẳng Px và Qy. Px được vẽ từ P (trên AD) vuông góc với AC và Qy từ Q (trên BC) vuông góc với BD.
- Do P và Q lần lượt nằm trên hai cạnh đối diện của hình vuông nên M chắc chắn nằm trong phần hình vuông.

2. Tính đối xứng và vị trí:
- M nằm trong hình vuông và gần sát đường chéo AC và BD, nên M sẽ xuất hiện gần vị trí trung tâm của hình vuông (tại O).
- Đường thẳng nối O với M sẽ nằm trong khoảng từ O đến BC, do đó, M sẽ nằm trên đường BC hoặc giữa khoảng cách từ O đến BC.

3. Kết luận:
- Bởi vì các điểm P và Q thuộc các cạnh AD và BC, và do tính chất của các đường kẻ vuông góc trong hình vuông, nên M sẽ nằm trên BC.

Do đó, M chắc chắn nằm trên đoạn BC.