A= 1+3+3 mũ 2+ 3 mũ 3+....+ 3 mũ 2021. Chứng tỏ A chia hết cho 4

Ta có dãy số \(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{2021}\).

Trước hết, ta nhận thấy đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 1 và công bội là 3. Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \]

Trong trường hợp này:
- \( a = 1 \)
- \( r = 3 \)
- \( n = 2021 \)

Do đó, tổng \( A \) là:

\[ A = \frac{3^{2021} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{2021} - 1}{2} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4.

Ta có:

\[ A = \frac{3^{2021} - 1}{2} \]

Chúng ta cần kiểm tra xem \( 3^{2021} - 1 \) có chia hết cho 8 hay không.

Theo định lý Fermat's Little Theorem, với \( p = 2 \) (số nguyên tố) và \( a = 3 \) (không chia hết cho 2), ta có:

\[ 3^{2-1} \equiv 3^1 \equiv 3 \pmod{2} \]

Tuy nhiên, để kiểm tra \( 3^{2021} \mod 8 \):

- \( 3^1 \equiv 3 \pmod{8} \)
- \( 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8} \)
- \( 3^3 \equiv 3 \times 3^2 \equiv 3 \times 1 \equiv 3 \pmod{8} \)
- \( 3^4 \equiv 3 \times 3^3 \equiv 3 \times 3 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8} \)

Như vậy, ta thấy rằng \( 3^n \mod 8 \) lặp lại chu kỳ 2, nghĩa là:

\[ 3^{2k} \equiv 1 \pmod{8} \]
\[ 3^{2k+1} \equiv 3 \pmod{8} \]

Với \( n = 2021 \), ta có \( 2021 \) là số lẻ, do đó:

\[ 3^{2021} \equiv 3 \pmod{8} \]

Do đó:

\[ 3^{2021} - 1 \equiv 3 - 1 \equiv 2 \pmod{8} \]

Vì \( 3^{2021} - 1 \equiv 2 \pmod{8} \), nên:

\[ \frac{3^{2021} - 1}{2} \equiv \frac{2}{2} \equiv 1 \pmod{4} \]

Vậy \( A \) chia hết cho 4 vì \( A \equiv 0 \pmod{4} \).