Có 8 học sinh và 3  thầy giáo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 11 người đó ngồi trên một hàng ngang có 11 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần hiểu rõ yêu cầu, đó là sắp xếp 11 người (gồm 8 học sinh và 3 thầy giáo) ngồi trên một hàng ngang sao cho mỗi thầy giáo phải ngồi giữa hai học sinh.

Bước 1: Sắp xếp học sinh

Trước tiên, hãy sắp xếp 8 học sinh. Số cách sắp xếp 8 học sinh là 8! (giai thừa của 8).

Bước 2: Xem xét vị trí của thầy giáo

Để đảm bảo mỗi thầy giáo đều ngồi giữa hai học sinh, chúng ta có thể hình dung rằng giữa các học sinh sẽ có những khoảng trống. Sau khi sắp xếp 8 học sinh, chúng ta có 7 khoảng trống giữa họ (các khoảng giữa các học sinh) và một khoảng ở hai đầu hàng. Tổng cộng có 9 khoảng.

Ví dụ: Nếu 8 học sinh được sắp xếp là A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, thì các khoảng trống sẽ như sau:

_ A1 _ A2 _ A3 _ A4 _ A5 _ A6 _ A7 _ A8 _

Bước 3: Chọn vị trí cho thầy giáo

Khi đã có 9 khoảng, chúng ta cần chọn 3 khoảng trong số 9 khoảng này cho 3 thầy giáo ngồi. Số cách chọn 3 khoảng từ 9 khoảng là C(9, 3) (toàn bộ chọn 3 từ 9).

Bước 4: Sắp xếp thầy giáo

Sau khi chọn vị trí cho 3 thầy giáo, ta có thể sắp xếp 3 thầy giáo trong 3 vị trí đó. Số cách sắp xếp 3 thầy giáo là 3!.

Bước 5: Tính tổng số cách xếp

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ sẽ là:

Tổng số cách = (số cách sắp xếp học sinh) × (số cách chọn vị trí cho thầy giáo) × (số cách sắp xếp thầy giáo)
= 8! × C(9, 3) × 3!.

Thực hiện các phép tính:

- 8! = 40320.
- C(9, 3) = 9! / (3! × (9-3)!) = 9! / (3! × 6!) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84.
- 3! = 6.

Do đó, tổng số cách xếp chỗ là:

= 40320 × 84 × 6 = 20321280.

Vậy, số cách xếp chỗ cho 11 người sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh là 20,321,280 cách.