cho n là số tự nhiên khác 0 và A = (n+1).(n+2).(n+3) ...(2.n) chứng tỏ rằng A chia hết cho 2 mũ n

Để chứng minh rằng \( A = (n+1)(n+2)(n+3)\cdots(2n) \) chia hết cho \( 2^n \), ta sẽ sử dụng nguyên lý đếm số lượng các bội số của 2 trong tích này.

Bước 1: Xác định khoảng giá trị của \( A \)

\( A \) là tích của các số từ \( n+1 \) đến \( 2n \). Tổng cộng có \( n \) số hạng trong tích này.

Bước 2: Đếm số lượng bội số của 2 trong đoạn \( [n+1, 2n] \)

Ta cần xác định số lượng số chẵn (tức là bội số của 2) trong tập hợp này. Giả sử \( n \) là số tự nhiên bất kỳ.

- Số lượng các số chẵn trong đoạn \( [1, 2n] \) bằng \( n \) (các số: 2, 4, 6, ..., \( 2n \)).
- Số lượng các số chẵn trong đoạn \( [1, n] \) bằng \( \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \) (tùy thuộc vào việc \( n \) là chẵn hay lẻ).

Do đó, số lượng số chẵn trong khoảng \( [n+1, 2n] \) là:

\[ n - \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \]

Bước 3: Tính toán cụ thể

- Nếu \( n \) là số chẵn, số chẵn trong khoảng này sẽ bằng:

\[ n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2} \]

- Nếu \( n \) là số lẻ, số chẵn trong khoảng này sẽ cũng bằng:

\[ n - \frac{n-1}{2} = \frac{n+1}{2} \]

Trong cả hai trường hợp này, số lượng các số chẵn (bội số của 2) là ít nhất \( \frac{n}{2} \) và có thể là \( \frac{n+1}{2} \).

Bước 4: Đếm số lượng bội số của 4, 8, 16...

Ta cần xem số lượng của các bội số cao hơn của 2 cũng cần tính vào:
- Số chẵn sẽ bao gồm cả bội số của 4 sẽ là \( \left\lfloor \frac{n/2}{2} \right\rfloor \),
- Bội số của 8 sẽ là \( \left\lfloor \frac{n/4}{2} \right\rfloor \),
- Thậm chí cho \( 2^k \) với \( k \leq \log_2(n) \).

Như vậy, tổng số bội số của 2 sẽ là tổng của các số bội số chẵn và các bội số cao hơn.

Kết luận:

Số bội số toàn phần của 2 trong \( A \) sẽ tổng hợp lại là \( n \) (do có hơn hoặc bằng \( n \) bội số của 2) vì vậy \( A \) chia hết cho \( 2^n \).

Phép định chống lại có thể cho thấy rằng, gía trị của A trong thoáng kích thước cuối cùng đại diện cho áp dụng vào khái niệm chống lại số bội só của 2.
Do đó, \( A \) chia hết cho \( 2^n \).