x^2 + 2xy + 2y^2 - 22y + 133  Tìm GTNN cử biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( f(x, y) = x^2 + 2xy + 2y^2 - 22y + 133 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chuyển biểu thức thành hàm của một biến:
Biểu thức \( x^2 + 2xy + 2y^2 \) có thể được viết lại dưới dạng hoàn thành bình phương:
\[
x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2
\]
Vậy biểu thức ban đầu trở thành:
\[
f(x, y) = (x + y)^2 + y^2 - 22y + 133
\]

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm đối với \( y \):
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( g(y) = y^2 - 22y + 133 \), ta tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:
\[
g'(y) = 2y - 22
\]
\[
2y - 22 = 0 \implies y = 11
\]

Kiểm tra xem đây có phải là cực tiểu hay không bằng cách tính đạo hàm bậc hai:
\[
g''(y) = 2 > 0
\]
Vì \( g''(y) > 0 \), điểm \( y = 11 \) là cực tiểu của hàm \( g(y) \).

3. Thay giá trị \( y = 11 \) vào biểu thức:
\[
f(x, 11) = (x + 11)^2 + 11^2 - 22 \cdot 11 + 133
\]
\[
= (x + 11)^2 + 121 - 242 + 133
\]
\[
= (x + 11)^2 + 12
\]

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( (x + 11)^2 + 12 \):
Biểu thức \( (x + 11)^2 \) luôn luôn không âm, và giá trị nhỏ nhất của nó là 0 khi \( x = -11 \). Vậy:
\[
(x + 11)^2 + 12 \geq 12
\]
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là 12.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 + 2xy + 2y^2 - 22y + 133 \) là 12.