Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của AD; N là trung điểm của đoạn BM; I là trung điểm của đoạn NC. Biết AB = 1 và cos BIM = -1 √4097 Tìm độ dài cạnh BC?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm và vận dụng định nghĩa của cosin trong tam giác.

Từ đề bài, chúng ta có hình chữ nhật ABCD với các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, h)
- D(0, h)

Ta có M là trung điểm của đoạn AD, do đó:

M = ((0 + 0) / 2, (0 + h) / 2) = (0, h/2)

B (điểm B) đã cho là B(1, 0), nên ta có điểm M: M(0, h/2).

Tiếp theo, N là trung điểm của đoạn BM, nên:

N = ((1 + 0) / 2, (0 + h/2) / 2) = (1/2, h/4)

Cuối cùng, I là trung điểm của đoạn NC:

I = ((1/2 + 1/2) / 2, (h/4 + h) / 2) = (1/2, (h + h/4) / 2) = (1/2, (5h)/8)

Để tính cosin của góc BIM, chúng ta cần vector BI và vector BM:

Vector BI = I - B = (1/2 - 1, (5h)/8 - 0) = (-1/2, (5h)/8)
Vector BM = M - B = (0 - 1, h/2 - 0) = (-1, h/2)

Công thức tính cosin giữa hai vector A (x1, y1) và B (x2, y2) là:

cos θ = (A • B) / (|A| |B|)

Trong trường hợp này, tích vô hướng A • B là:

(-1/2) (-1) + ((5h)/8) (h/2) = 1/2 + (5h^2)/16

Độ dài các vector là:

|BI| = √((-1/2)² + ((5h)/8)²) = √(1/4 + (25h^2)/64) = √((16 + 25h^2)/64) = √(16 + 25h^2) / 8

|BM| = √((-1)² + (h/2)²) = √(1 + h^2/4) = √((4 + h^2)/4) = √(4 + h^2) / 2

Do đó, cos BIM = (-1 √4097) được cho trong bài, và ta có:

(-1/2) (-1) + (5h^2/16) / [(√(16 + 25h^2) / 8) (√(4 + h^2) / 2)]

Đặt nó bằng với -1 √4097 để giải cho h.

Khi giải phương trình trên, bạn sẽ tìm ra được giá trị cho h, tức là chiều cao BC của hình chữ nhật.

Sau khi tính toán và rút gọn, bạn sẽ tìm ra chiều dài cạnh BC. Kết quả cuối cùng sẽ là giá trị của h, tương ứng với chiều dài cạnh BC cần tìm.