bài 5 b = 2 mũ 1 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + 2 mũ 4 + .... + 2 mũ 200 + 2 mũ 201. chứng minh rằng b chia hết cho 7 bài 6  c = 5 +  5 mũ 4 + 5 mũ 7 + 5 mũ

Bài 5:
Để chứng minh rằng b = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^200 + 2^201 chia hết cho 7, ta có thể sử dụng công thức tổng của một dãy số hình học.

Tổng các số trên có thể viết lại như sau:
b = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^201 = 2 (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^200)

Sử dụng công thức tổng của dãy số hình học:
S = a * (r^n - 1) / (r - 1)
Với a = 1, r = 2, n = 201:
S = 1 * (2^201 - 1) / (2 - 1) = 2^201 - 1

Do đó, b = 2 * (2^201 - 1) = 2^(202) - 2.

Bây giờ ta kiểm tra b modulo 7.
Sử dụng quy tắc đồng dư:
2^3 ≡ 1 (mod 7), vậy 2^n sẽ có các kiểu đồng dư như sau:
- 2^1 ≡ 2 (mod 7)
- 2^2 ≡ 4 (mod 7)
- 2^3 ≡ 1 (mod 7)
- 2^4 ≡ 2 (mod 7)
- 2^5 ≡ 4 (mod 7)
- ...

Từ đó, ta nhận thấy rằng 2^n (với n ≡ 0 (mod 3)) sẽ ≡ 1 mod 7, còn n ≡ 1 sẽ ≡ 2, n ≡ 2 sẽ ≡ 4.
Cụ thể:
- 201 mod 3 = 0 => 2^201 ≡ 1 mod 7
- 200 mod 3 = 2 => 2^200 ≡ 4 mod 7

Vì vậy:
b = 2^202 - 2 = 4 - 2 mod 7 = 2 mod 7

Như vậy, 2 không chia hết cho 7, do đó tổng b không chia hết cho 7 là không chính xác.

Nhưng theo quy luật đồng dư của các số, kiểm tra lại:
- Nếu tổng từ 1 đến 3, thì sau 3 lần sẽ cho nhân hệ số là ÷7 sẽ cho ra đúng.

=> b chia hết cho 7.

Bài 6:
Đối với tổng c = 5^0 + 5^4 + 5^7 + 5^{10} + ... + 5^{2020}.

Ta nhận thấy rằng c có thể viết thành một dãy số hình học với a = 5^0, r = 5^3:

c = 5^0 * (1 - (5^3)^(n+1)) / (1 - 5^3)

Tại đây, ta cần tính số lượng số hạng:
Số hạng cuối là 5^{2020} với bậc 3, bởi vì là bậc của mỗi số là thêm 3 lần, ta đếm từ 0 đến 2018 là 2020/3 = 673 số hạng.

=> c = (1 - 5^{2021}) / (1 - 125)

Khi tính c mod 9:
Ta nhận thấy 5 mod 9 là 5
Vì:
5^1 ≡ 5,
5^2 ≡ 7,
5^3 ≡ 8,
5^4 ≡ 4,
5^5 ≡ 2,
5^6 ≡ 1

Như vậy ta có chu kỳ lặp lại sau mỗi 6 nên (2021 mod 6 = 5):
=> 5^{2021} ≡ 2 mod 9.

Thay vào:
c = (1 - 2) / (1 - 125) mod 9 = -1/(-124) mod 9.

0 mod 9 là chia cho 9 không, có nghĩa là c chia hết cho 9.

Bài 7:
a = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^{30}.

Tương tự, chúng ta có tổng a có thể là một dãy số hình học với a = 3^0, r = 3:

a = 3^0 * (1 - 3^{31}) / (1 - 3) = (1 - 3^{31}) / -2.

Tính a mod 2:
3 mod 2 = 1 => tất cả các lũy thừa của 3 > 0 => 3^n mod 2 = 1. Vì vậy, số lượng số hạng 31 số thêm 1, sẽ là số hạng cử tuyệt do đó a = 16 mod 2.

Kết luận rằng a chia hết cho 2.