Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=1.5cm; AC=2cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC .Chứng minh : a) ABC đồng dạng với HBA b) Tính độ dài BC, AH, BH c) Kẻ phân giác AD của tam giác ABC. Tính DH và diện tích tam giác AHD?

a) Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác:

1. Tam giác ABC vuông tại A, nên có góc A = 90 độ.
2. Vì AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, nên góc HAB = góc A - góc B.

Xét hai tam giác ABC và HBA:
- Tam giác ABC có góc A = 90 độ và góc B = góc HBA (do AH là đường cao).
- Do đó, hai góc tương ứng đã có, suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA (theo tiêu chí góc-góc).

b) Để tính độ dài BC, AH và BH, trước hết ta ứng dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:

BC^2 = AB^2 + AC^2
= (1.5)^2 + (2)^2
= 2.25 + 4
= 6.25
=> BC = √6.25 = 2.5 cm.

Tiếp theo, tính AH:
Theo định lý của đường cao trong tam giác vuông, ta có:
AH^2 = AB * AC
= 1.5 * 2 = 3
=> AH = √3 ≈ 1.732 cm.

Cuối cùng, tính BH:
Sử dụng tỉ lệ trong tam giác đồng dạng HBA và ABC:
BH / AB = AH / AC
=> BH / 1.5 = √3 / 2
=> BH = (1.5 * √3) / 2 = 1.5√3 / 2 ≈ 1.299 cm.

c) Để kẻ phân giác AD trong tam giác ABC, ta phải dùng tính chất của phân giác. Phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh AB và AC:

- Tính độ dài của BC (đã tính được ở phần b là 2.5 cm).
- Tính BH và HC bằng cách sử dụng tỉ lệ:
BH / HC = AB / AC = 1.5 / 2 = 3/4.

Giả sử BH = 3x và HC = 4x (với x là một độ dài không xác định):
3x + 4x = 2.5
=> 7x = 2.5
=> x = 2.5 / 7.

Tính BH và HC:
BH = 3x = 3(2.5/7) = 7.5/7 = 1.071 cm,
HC = 4x = 4(2.5/7) = 10/7 = 1.429 cm.

Tiếp theo là tính DH. Theo định lý của phân giác, chúng ta có DH = AH * (AB / (AB + AC)):
= AH * (1.5 / (1.5 + 2))
= √3 (1.5 / 3.5) = √3 (15/35)
= 15√3 / 35 = 3√3 / 7 cm.

Cuối cùng, diện tích tam giác AHD được tính theo công thức:
S = 0.5 AB DH
= 0.5 1.5 (3√3 / 7)
= 0.75 * (3√3 / 7)
= (2.25√3) / 7 ≈ 0.963 cm².