Cho tứ diện ABCD, gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Biết rằng vectơ MN= mvectoAB +nvectoAC+pvectoAD.Giá trị biểu thức m+n+p bằng bao nhiêu.

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định vị trí của các điểm và các vectơ liên quan trong không gian.

Gọi A, B, C, D là bốn điểm trong không gian với vị trí lần lượt là các vectơ A, B, C, D. Trung điểm M của đoạn thẳng AB và trung điểm N của đoạn thẳng CD được tính như sau:

M = (A + B) / 2
N = (C + D) / 2

Theo đề bài, vectơ MN được diễn tả như sau:

MN = N - M = (C + D)/2 - (A + B)/2 = (C + D - A - B) / 2

Bây giờ, chúng ta cũng có thể biểu diễn các vectơ AB, AC, AD:

- vectơ AB = B - A
- vectơ AC = C - A
- vectơ AD = D - A

Từ các vectơ này, ta có thể ghi nhận rằng:

MN = mvectoAB + nvectoAC + pvectoAD

Thay thế các vectơ vào phương trình trên:

(C + D - A - B) / 2 = m(B - A) + n(C - A) + p(D - A)

Chúng ta muốn tìm m, n, p như thế nào để phương trình này thỏa mãn.

Bây giờ, ta tách từng phần trong hai vế của phương trình. Nếu ta đưa tất cả các vectơ về cùng một phía của phương trình và đồng thời đưa (C + D - A - B) về dạng có hệ số tương ứng:

(C - A) + (D - A) - (B - A) = - m(B - A) - n(A - C) - p(A - D)

Sau khi thay đổi một số biểu thức, ta có thể nhận thấy rằng phần hệ số của (B - A), (C - A), và (D - A) sẽ tương ứng với các giá trị của m, n, p.

Rút gọn và so sánh các hệ số, ta có:

- Hệ số của (B - A) tương ứng là -m, Vì có vectơ B.
- Hệ số của (C - A) tương ứng là n.
- Hệ số của (D - A) tương ứng là p.

Nếu chúng ta đặt:

m = 1, n = 1, p = 1

thì:

m + n + p = 1 + 1 + 1 = 3.

Do đó, giá trị biểu thức m + n + p sẽ bằng 3.