Bài 35. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE, kẻ DH và EK lần lượt vuông góc với các tia AB và AC. a) Tam giác DEA là tam

a) Tam giác DEA là tam giác vuông tại A. Bởi vì DH và EK được kẻ vuông góc với AB và AC tương ứng. Khi đó, góc DAE = 90 độ, do đó tam giác DEA có một góc vuông tại đỉnh A.

b) Để chứng minh rằng AADH = AAEK, ta xem xét hai tam giác AADH và AAEK. Điểm A là đỉnh chung, và vì DH vuông góc với AB và EK vuông góc với AC, nên có AD = AE. Hơn nữa, vì BD = CE và AD = AE, ta có thể kết luận rằng diện tích AADH và AAEK bằng nhau do cùng chiều cao từ A hạ xuống các cạnh tương ứng.

c) Để chứng minh rằng tam giác DOE là tam giác cân, ta cần chỉ ra rằng DO = OE. Khi đó, bởi vì DH và EK là hai đường vuông góc, nghĩa là chúng chia tam giác DEA thành hai phần đối xứng qua đường thẳng chứa điểm A. Vậy DO sẽ bằng OE vì điểm O là nơi giao nhau của các đường vuông góc này, từ đó ta có được kết luận rằng tam giác DOE là tam giác cân.

d) Để chứng minh rằng A, I, O thẳng hàng, ta xem xét điểm I là trung điểm của BC. Vì BC là cạnh đáy của tam giác ABC và AD = AE, còn DH và EK là vuông góc với AB và AC, điều này tạo ra sự đối xứng về tọa độ. Từ đó, có thể kết luận rằng điểm O nằm trên đường trung tuyến AI, nghĩa là A, I, O thẳng hàng.