Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt O tại điểm M. Chứng minh KB.KC = KE.KF

Để chứng minh rằng KB.KC = KE.KF trong tam giác nhọn ABC với các thiết diện đã cho, ta sẽ sử dụng định lý lượng giác và tính đồng phẳng của các điểm trong tam giác.

Trước tiên, ta có:

- Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
- BE và CF là hai đường cao, cắt nhau tại H.
- EF là đường thẳng nối hai điểm E và F, giao với BC tại K.

Gọi r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

1. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp: Các điểm A, B, C, E, F nằm trên đường tròn ngoại tiếp. Do đó, ta có các góc:
- ∠BEO = ∠BFA, ∠CFO = ∠CFA.

2. Tính chất của đường cao: H là chân đường cao của phía tương ứng so với các đỉnh, tức là H nằm trong tam giác ABC. Do đó, ta có ∠BHE = ∠CHF.

3. Áp dụng định lý lượng giác: Từ tam giác BEH và tam giác CFH (lần lượt có H là chân đường cao):
- Ta có EF cắt BC tại K, do đó, theo định lý lượng giác:
- KE/KF = KB/KA và KE/KF = KC/KA.

4. Sử dụng tích sản phẩm: Từ kết quả trên:
- Ta có KB/KC = KE/KF.
- Khi nhân chéo, ta có KB KF = KE KC.

Vậy, đối với tam giác đã cho, ta đã chứng minh rằng KB.KC = KE.KF là chính xác bằng cách sử dụng định lý lượng giác trong địa lý.