chứng minh n^3-n chia hết cho 30

Để chứng minh rằng n^3 - n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n, ta có thể chia bài toán thành ba phần: chứng minh rằng n^3 - n chia hết cho 2, 3 và 5, vì 30 = 2 3 5. Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

1. Chứng minh n^3 - n chia hết cho 2:
n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1). Ba số n, n - 1 và n + 1 liên tiếp nhau. Trong bất kỳ ba số liên tiếp nào, ít nhất một số sẽ là số chẵn. Do đó, n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.

2. Chứng minh n^3 - n chia hết cho 3:
Đối với modulo 3, ta có thể chia n thành ba trường hợp:
- Nếu n ≡ 0 (mod 3), thì n^3 - n ≡ 0 - 0 ≡ 0 (mod 3).
- Nếu n ≡ 1 (mod 3), thì n^3 - n ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3).
- Nếu n ≡ 2 (mod 3), thì n^3 - n ≡ 8 - 2 ≡ 6 ≡ 0 (mod 3).
Như vậy, n^3 - n chia hết cho 3 trong mọi trường hợp.

3. Chứng minh n^3 - n chia hết cho 5:
Đối với modulo 5, ta cũng xem xét các trường hợp:
- Nếu n ≡ 0 (mod 5), thì n^3 - n ≡ 0 (mod 5).
- Nếu n ≡ 1 (mod 5), thì n^3 - n ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5).
- Nếu n ≡ 2 (mod 5), thì n^3 - n ≡ 8 - 2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5).
- Nếu n ≡ 3 (mod 5), thì n^3 - n ≡ 27 - 3 ≡ 24 ≡ 4 (mod 5).
- Nếu n ≡ 4 (mod 5), thì n^3 - n ≡ 64 - 4 ≡ 60 ≡ 0 (mod 5).
Như vậy, trong các trường hợp này, n^3 - n không phải luôn luôn chia hết cho 5. Nhưng nếu n ≡ 0, 1, hoặc 4 (mod 5), thì chia hết, và với n ≡ 2 hoặc 3 thì không.

Tuy nhiên, để cho n^3 - n chia hết cho 30, nó phải chia hết cho cả 2, 3, và 5. Vì n(n - 1)(n + 1) là tích của ba số liên tiếp, thì luôn có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, nhưng không đảm bảo rằng có một số chia hết cho 5 trong mọi trường hợp; nó chỉ xảy ra trong những trường hợp cụ thể.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng n^3 - n chia hết cho 2 và 3. Điều này không khẳng định chắc chắn rằng n^3 - n luôn chia hết cho 30 vì không phải trường hợp nào n cũng chia hết cho 5. Do đó, không thể kết luận rằng n^3 - n chia hết cho 30 với mọi giá trị của n.