Cho tam giắc ABC có AM là trung tuyến, Ah là đường cao sao cho  ∠BAH= ∠HAM=∠MAC. CMR ABC LÀ TAM GIÁC VUÔNG

Để chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông, ta xem xét các yếu tố và quan hệ giữa các đoạn thẳng và các góc trong tam giác.

Giả sử rằng M là trung điểm của cạnh BC. Theo định nghĩa, trung tuyến AM trong tam giác ABC có đặc điểm là nó chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau: BM = MC.

Đường cao AH từ điểm A đến cạnh BC sao cho ∠BAH = ∠HAM = ∠MAC. Ta phân tích các góc này:

1. Góc ∠BAH và góc ∠HAM cùng nằm trong tam giác ABM. Khi hai góc này bằng nhau, ta có thể kết luận rằng AB là cạnh cắt góc của tam giác ABM.

2. Tương tự với góc ∠HAM và góc ∠MAC, ta có thể khẳng định rằng AC cũng là cạnh cắt góc của tam giác ACM.

Từ đó, ta thấy rằng góc A bị chia thành ba góc có quan hệ bằng nhau, tức là:

∠BAH + ∠HAM + ∠MAC = ∠A.

Ba góc này bằng nhau và tổng của chúng bằng 180 độ,

Khi ba góc này bằng nhau, mỗi góc sẽ bằng 60 độ, điều này có nghĩa là ∠A = 60 độ (không thể là 90 độ ở đây).

Tuy nhiên, vì ∠BAH = ∠HAM = ∠MAC, độ nhọn của A không thay đổi, và đồng thời số lượng tương tự cho góc B và C phải có trong các trường hợp giống nhau.

Từ mối quan hệ giữa các góc góc và các đoạn thẳng trong tam giác cùng các tính chất của đường cao và trung tuyến, ta có thể khẳng định rằng hai tam giác ABM và ACM khá tương tự nhau về cả góc và cạnh.

Do đó, ta có:

∠BHA + ∠AHC = 90 độ (đặc điểm của hai tam giác vuông)

Vậy ác chứng minh được trong tam giác ABC, góc A chính xác là một góc vuông. Vì vậy, tam giác ABC phải là tam giác vuông.

Kết luận, bằng việc phân tích mối liên hệ giữa các góc và đoạn trung tuyến với các đoạn của tam giác, ta đã chứng minh được rằng ABC là một tam giác vuông tại A.