Cho tam giác ABC và hai đường cao BD, CE kẻ từ B và C.a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.b) Giả sử DBC = 30°, BAC = 55°, tính độ dài cung nhỏ BE, biết BD = 5√3cm.Làm câu

Để tính độ dài cung nhỏ BE trong tứ giác BEDC, trước hết chúng ta sẽ sử dụng thông tin đã cho về các góc.

Bước 1: Tính góc BEC.
Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC. Theo định lý tứ giác nội tiếp, góc BEC sẽ được tính như sau:

Góc BEC = 90° - góc DBC.

Chúng ta đã biết DBC = 30°, do đó:

Góc BEC = 90° - 30° = 60°.

Bước 2: Sử dụng kiến thức về chu vi và độ dài cung.
Đoạn BE là 1 phần của cung tròn có tâm là điểm giữa của đoạn thẳng BC. Do đó, chúng ta cần tính độ dài cung BE theo góc BEC.

Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Đoạn BC là đường kính của đường tròn, còn BD là đường cao có độ dài 5√3cm.

Chúng ta có thể sử dụng định lý sin để xác định độ dài BC. Ở đây, trong tam giác BDC:

sin(30°) = BD / BC.

Thay vào, ta có:

1/2 = 5√3 / BC => BC = 10√3 cm.

Bước 4: Tính độ dài cung BE.
Mỗi cung trong đường tròn tương ứng với một góc ở tâm. Với góc BEC = 60°, chúng ta sẽ có hằng số tỷ lệ trung bình để tính độ dài cung:

Độ dài cung BE = (góc BEC / 360°) × chu vi của đường tròn.

Chu vi đường tròn với đường kính BC = 10√3:

Chu vi = π × đường kính = π × 10√3.

Tính độ dài cung:

Độ dài cung BE = (60° / 360°) × π × 10√3 = (1/6) × π × 10√3 = (5/3)π√3 cm.

Vậy độ dài cung nhỏ BE là (5/3)π√3 cm.