rút gọn a^k . (a+b)(a+c)/(a-b)(a-c)+b^k . (b+a)(b+c)/(b-a)(b-c)+c^k . (c+a)(c+b)/(c-a)(c-b) tại k =0

Để rút gọn biểu thức đã cho tại k = 0, ta sẽ bắt đầu với từng phần của biểu thức:

Biểu thức cần rút gọn là:

a^k (a+b)(a+c)/(a-b)(a-c) + b^k (b+a)(b+c)/(b-a)(b-c) + c^k * (c+a)(c+b)/(c-a)(c-b)

Khi k = 0, các hạng tử a^k, b^k, c^k đều trở thành 1. Do đó, biểu thức sẽ trở thành:

1 (a+b)(a+c)/(a-b)(a-c) + 1 (b+a)(b+c)/(b-a)(b-c) + 1 * (c+a)(c+b)/(c-a)(c-b)

Tức là:

(a+b)(a+c)/(a-b)(a-c) + (b+a)(b+c)/(b-a)(b-c) + (c+a)(c+b)/(c-a)(c-b)

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

1. Phần thứ nhất: (a+b)(a+c)/(a-b)(a-c)
- Đây là một phân số, tử số là tích của hai hạng tử (a+b) và (a+c), mẫu số là tích của hai hạng tử (a-b) và (a-c).

2. Phần thứ hai: (b+a)(b+c)/(b-a)(b-c)
- Tương tự, tử số là (b+a)(b+c), và mẫu số là (b-a)(b-c).

3. Phần thứ ba: (c+a)(c+b)/(c-a)(c-b)
- Tử số là (c+a)(c+b), mẫu số là (c-a)(c-b).

Do các quy tắc đối xứng trong biểu thức, ta nhận ra rằng từng phần trong biểu thức sẽ có cấu trúc tương tự nhau nhưng với các biến khác nhau (a, b, c).

Để tìm giá trị chính xác của biểu thức này, ta có thể tìm giá trị của từng phần hoặc áp dụng một kỹ thuật chung nào đó (như tính tổng) để đánh giá nó.

Khi nhận xét biểu thức tổng quát, đáng chú ý rằng khi a, b, và c giống nhau, tất cả các phần sẽ trở thành 0 vì sẽ xuất hiện dạng 0/0. Tuy nhiên, khi a, b, c khác nhau, biểu thức có thể được rút gọn nhưng sẽ phức tạp khi tính toán từng phần.

Cuối cùng, do đó có thể chỉ ra rằng tại k=0, biểu thức rút gọn sẽ phụ thuộc vào a, b, c nhưng quy tắc tổng quát cho thấy nó diễn ra theo cách nhất quán cho từng biến.

Biểu thức cuối cùng được rút gọn có thể sẽ là một tổng phụ thuộc vào giá trị của a, b, c mà không thể xác định cụ thể mà cần phải xem xét hoàn cảnh cụ thể (ôn lại thông tin từ a, b, c).