Giúp em với ạ P=5²+5³+....+5²⁰¹⁸+5²⁰¹⁹ không chia hết cho 13Em gửi 5⭐ ạ

Để giải bài toán P = 5² + 5³ + ... + 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹, trước hết chúng ta cần nhận diện được dạng tổng và tìm cách tính toán nó một cách hiệu quả.

P có thể được viết lại dưới dạng tổng như sau:

P = 5² (1 + 5 + 5² + ... + 5¹⁷)

Trong biểu thức trên, 5² là một yếu tố chung có thể đưa ra ngoài. Còn phần trong ngoặc là một cấp số nhân (hoặc tổng cấp số cộng), có thể tính theo công thức tổng của cấp số nhân:

S_n = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu tiên,
- r là công bội,
- n là số hạng.

Ở đây, a = 1 (số hạng đầu tiên trong nhóm ngoặc), r = 5 (công bội của cấp số nhân), và n = 18 (tổng cộng có 18 số hạng từ 5^0 đến 5^17).

Áp dụng công thức, ta có:

1 + 5 + 5² + ... + 5¹⁷ = (1 * (5¹⁸ - 1)) / (5 - 1) = (5¹⁸ - 1) / 4

Do đó, chúng ta có thể viết lại P như sau:

P = 5² * (5¹⁸ - 1) / 4

P = (25 * (5¹⁸ - 1)) / 4

Bây giờ để xem P có chia hết cho 13 hay không, chúng ta cần xem xét phần còn lại của P khi chia cho 13.

Trước hết, ta sẽ xem xét các lũy thừa của số 5 modulo 13. Áp dụng định lý Fermat, ta biết rằng 5^{12} ≡ 1 (mod 13).

Vậy ta cần tìm 5¹⁸ mod 13:

5¹⁸ = (5¹²) (5^6) ≡ 1 5^6 (mod 13)

Tiếp theo là tính 5^6 mod 13:

5^2 = 25 ≡ 12 (mod 13)
5^4 = (5^2)^2 = 12^2 = 144 ≡ 1 (mod 13)
5^6 = 5^4 5^2 ≡ 1 12 = 12 (mod 13)

Từ đó ta có 5¹⁸ ≡ 12 (mod 13).

Bây giờ, hãy tính P modulo 13:

P = (25 * (5¹⁸ - 1)) / 4
= (25 * (12 - 1)) / 4
= (25 * 11) / 4 mod 13

Thực hiện nhân 25 * 11:

25 * 11 = 275

Tính 275 mod 13:

275 ÷ 13 = 21, dư 2. Như vậy 275 ≡ 2 (mod 13).

Giờ ta có:

P = (2 / 4) mod 13

Nhưng chúng ta cần chú ý rằng muốn lấy 2/4 mod 13, chúng ta có thể nhân với số nghịch đảo của 4 mod 13.

Tìm số nghịch đảo của 4 mod 13 bằng cách sử dụng thuật toán Euclid mở rộng, ta tìm thấy nghịch đảo của 4 mod 13 là 10:

4 * 10 ≡ 1 (mod 13).

Do đó, tính 2 * 10 mod 13:

2 * 10 = 20 ≡ 7 (mod 13).

Cuối cùng, vì P ≡ 7 (mod 13) nên P không chia hết cho 13.

Vậy, kết quả cuối cùng là P không chia hết cho 13.