Giải hệ phương trình trên (đk:x=y)

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(x - 1)(y^2 + 6) = y(x^2 + 1) \\
(y - 1)(x^2 + 6) = x(y^2 + 1)
\end{cases}
\]

với điều kiện \(x = y\).

Thay \(y\) bằng \(x\) trong hệ phương trình, ta có:

\[
\begin{cases}
(x - 1)(x^2 + 6) = x(x^2 + 1) \\
(x - 1)(x^2 + 6) = x(x^2 + 1)
\end{cases}
\]

Hai phương trình này là tương đương, ta chỉ cần giải một phương trình:

\((x - 1)(x^2 + 6) = x(x^2 + 1)\)

Mở rộng hai vế:

\[
x^3 + 6x - x^2 - 6 = x^3 + x
\]

Rút gọn:

\[
6x - x^2 - 6 = x \\
-x^2 + 5x - 6 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

với \(a = -1\), \(b = 5\), \(c = -6\):

\[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 25 - 24 = 1
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{-2} = \frac{-5 \pm 1}{-2}
\]

Có hai nghiệm:

1. \(x = \frac{-5 + 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2\)
2. \(x = \frac{-5 - 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3\)

Sau đó, kiểm tra các nghiệm:

1. Với \(x = 2\):
Thay vào điều kiện \(x = y\), ta có \(y = 2\).

2. Với \(x = 3\):
Thay vào điều kiện \(x = y\), ta có \(y = 3\).

Kết luận: Hệ phương trình có hai tập nghiệm là \((2, 2)\) và \((3, 3)\).