Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm D trên bán kính OB . gọi H là trung điểm của AD . Đường vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E

a) Để chứng minh tứ giác ACED là hình thang vuông, chúng ta sẽ chứng minh rằng AC // ED và có một góc vuông tại H.

- Đầu tiên, ta thấy rằng vì H là trung điểm của AD, nên DH = HA.
- Ta có đường vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn tại C, tức là HC vuông góc với AB. Bởi vì AB là đường kính, điều này đồng nghĩa với việc góc ACB là góc vuông.
- Hơn nữa, ED cũng là đường vuông góc với AB (vì H nằm trên đường vuông góc với AB) và ED // AC, do đó AC // ED.
- Do đó, tứ giác ACED là hình thang vuông tại H.

b) Để chứng minh tam giác HCE cân tại H, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng HC = HE.

- Trong tứ giác ACED, chúng ta đã biết rằng AC // ED, và chúng ta có HC vuông góc với AB.
- Do đó, ta có HE = HC vì H là trung điểm của AD và D nằm trên đường tròn tâm O. Hơn nữa, ED = AC do tính chất đối xứng.
- Vậy HC = HE, do đó tam giác HCE cân tại H.

c) Để chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, chúng ta cần chỉ ra rằng góc HEC bằng 90 độ.

- Ta đã chứng minh rằng HC vuông góc với AB và cân với HE.
- Khi đó, góc HEC = góc HCA + góc ACB. Ta đã biết ACB là góc vuông.
- Nếu góc HEC = 90 độ, thì HE sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tâm I khi E là điểm giao nhau của đường tròn I và đường thẳng CB.
- Do đó, HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh một cách chi tiết rằng tứ giác ACED là hình thang vuông, tam giác HCE cân tại H và HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.