Mệnh đề trên đúng hay sai? Giải thích? MN GIÚP EM CÂU NÀY VS Ạ!!!

Mệnh đề này là "Đối với mọi a, b, c thuộc R mà a+b+c=0 thì \(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=ab+bc+ca\)".

Để kiểm tra mệnh đề có đúng hay không, ta thực hiện một số bước đơn giản.

1. Sử dụng điều kiện \(a + b + c = 0\):
Từ điều kiện này, ta có thể biểu diễn \(c\) bằng cách biến đổi:
\[
c = -a - b
\]

2. Thay thế \(c\) vào phương trình:
Tiến hành thay thế \(c\) vào cả hai vế của mệnh đề:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (-a-b)^2 = a^2 + b^2 + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2ab
\]

Chính xác hơn:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + ab)
\]

3. Tính phần bên phải:
Thay \(c = -a - b\) vào \(ab + bc + ca\):
\[
ab + b(-a-b) + a(-a-b) = ab - ab - b^2 - a^2 - ab = -a^2 - b^2 - ab
\]

Bây giờ, hai bên của phương trình trở thành:
- Bên trái: \(\frac{2(a^2 + b^2 + ab)}{2} = a^2 + b^2 + ab\)
- Bên phải: \(-a^2 - b^2 - ab\)

4. So sánh hai vế:
Như vậy, hai vế không bằng nhau mà là trái ngược nhau (có dấu âm).

Do đó, mệnh đề được đưa ra là sai.