cho góc nhọn xOy. trên Ox,Oy lần lượt lấy 2 điểm M và N scho OM = ON, đường thẳng MN cắt tia Ot tại i  a) chứng minh i là trung điểm của MN b) chúng Oz vuông góc MN

a) Để chứng minh rằng i là trung điểm của đoạn thẳng MN, ta xét các điểm M và N trên các trục hoành Ox và trục tung Oy sao cho OM = ON.

Giả sử M có tọa độ (a, 0) trên Ox và N có tọa độ (0, b) trên Oy. Theo giả thiết, ta có OM = ON, tức là a = b. Khi đó, ta có M = (a, 0) và N = (0, a).

Đường thẳng MN có thể được xác định bằng cách tính độ dốc của nó. Độ dốc của MN là:

slope = (b - 0) / (0 - a) = a / -a = -1.

Phương trình của đường thẳng MN có dạng:

y = -x + a.

Điểm O (gốc tọa độ) có tọa độ (0, 0) và điểm i nằm trên tia Ot (tức là cùng phía với điểm O trên trục). Để tìm giao điểm i giữa đoạn thẳng MN và tia Ot, ta cần phương trình của tia Ot.

Giả sử tia Ot có phương trình là y = kx với k > 0. Ta cần tìm giao điểm giữa đường thẳng y = -x + a và y = kx.

Giải hệ phương trình:

-x + a = kx

Từ đó, ta có:

a = (k + 1)x
=> x = a / (k + 1)

Thay x vào phương trình y = kx để tìm tọa độ y của điểm i:

y = ka / (k + 1).

Vậy tọa độ của điểm i là (a / (k + 1), ka / (k + 1)).

Để chứng minh i là trung điểm của MN, ta tính tọa độ của trung điểm của MN:

Tọa độ trung điểm của MN là:

M′( ((a + 0)/2), ((0 + b)/2) ) = (a/2, a/2).

So sánh tọa độ i và tọa độ trung điểm M′:

- Tọa độ i: (a / (k + 1), ka / (k + 1))
- Tọa độ trung điểm M′: (a/2, a/2)

Bây giờ ta cần chứng minh rằng:

a / (k + 1) = a / 2 và ka / (k + 1) = a / 2.

Xét phương trình đầu tiên:

a / (k + 1) = a / 2 ⇔ 2a = a(k + 1) ⇔ 2 = k + 1 ⇔ k = 1.

Do đó, điểm i đúng là trung điểm của MN, khi mà tia Ot cắt MN khi k = 1.

b) Để chứng minh rằng Oz vuông góc với MN, chúng ta cần nghiên cứu độ dốc của Oz và độ dốc của MN.

Đường thẳng Oz là đường thẳng đứng, có độ dốc vô cực, trong khi độ dốc của đường thẳng MN đã được tính là -1. Hai đường thẳng này vuông góc với nhau nếu tích của độ dốc của chúng bằng -1.

Đặc biệt, với độ dốc của MN là -1 và độ dốc của Oz là vô cực, ta có thể nói rằng chúng vuông góc với nhau, vì không có độ dốc hữu hạn nào có thể kết hợp với -1 để tạo thành tổng = -1.

Như vậy, ta có thể xác nhận rằng đường thẳng Oz vuông góc với đoạn thẳng MN.