(x^2 + x + 1) / (x^2 + x - 2) - 1 / (1 - x) + (1 / (x + 2)) * (x^2 + 2x - 3)

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

1. Rút gọn các phân thức: Bắt đầu bằng cách rút gọn từng phân thức trong biểu thức.

Phân thức đầu tiên là (x^2 + x + 1) / (x^2 + x - 2). Để có thể dễ dàng xử lý, ta sẽ phân tích mẫu số:
- Mẫu số x^2 + x - 2 có thể phân tích thành (x - 1)(x + 2).

Vậy biểu thức đầu tiên trở thành:
(x^2 + x + 1) / [(x - 1)(x + 2)].

2. Phân tích phân thức thứ hai:

Phân thức thứ hai là -1 / (1 - x), ta biết rằng 1 - x = -(x - 1), do vậy:
-1 / (1 - x) = 1 / (x - 1).

3. Phân tích phân thức thứ ba:

Thể hiện phân thức thứ ba:
(1 / (x + 2)) * (x^2 + 2x - 3).
Ta có thể phân tích x^2 + 2x - 3 như sau:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1).

Vậy biểu thức này trở thành:
(1 / (x + 2)) * [(x + 3)(x - 1)] = (x + 3) / (x + 2).

4. Ghép lại các biểu thức:

Vậy biểu thức ban đầu trở thành:
(x^2 + x + 1) / [(x - 1)(x + 2)] + 1 / (x - 1) + (x + 3) / (x + 2).

5. Tìm mẫu số chung:

Mẫu số chung cho các phân thức này là (x - 1)(x + 2). Bây giờ, ta chuyển đổi các phân thức về cùng một mẫu số:

Thay đổi phân thức thứ hai:
1 / (x - 1) = (x + 2) / [(x - 1)(x + 2)].

Thay đổi phân thức thứ ba:
(x + 3) / (x + 2) = (x + 3)(x - 1) / [(x + 2)(x - 1)].

6. Ghép tất cả lại:

Ta có tất cả các phân thức về cùng một mẫu số:
(x^2 + x + 1 + (x + 2) + (x + 3)(x - 1)) / [(x - 1)(x + 2)].

7. Rút gọn tử số:

Tử số bây giờ là:
x^2 + x + 1 + x + 2 + (x^2 + 3x - x - 3) = x^2 + x + 1 + x + 2 + x^2 + 3x - x - 3.

Kết hợp các như sau:
2x^2 + 4x + 0 = 2x^2 + 4x.

8. Viết lại biểu thức:

Kết quả cuối cùng là:
(2x^2 + 4x) / [(x - 1)(x + 2)].

9. Rút gọn thêm:

Tử số 2x^2 + 4x có thể rút gọn hơn nữa:
2x(x + 2).

Vậy biểu thức cuối cùng là:
2x / (x - 1).

Tóm lại, kết quả cuối cùng của bài toán là:

2x / (x - 1)