Trên bảng viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1;2;...;2022 và xoá 2 số bất kì rồi viết lên bảng tổng 2 số đó. Hỏi số còn lại là số chẵn hay số lẻ? Vì sao?

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần hiểu rằng tổng của hai số nguyên dương bất kỳ sẽ đi theo quy tắc về tính chẵn và lẻ.

Xét hai số nguyên dương trong dãy số từ 1 đến 2022. Khi ta lấy tổng của hai số đó, có 3 khả năng xảy ra với tổng của chúng:

1. Cả hai số đều chẵn: Tổng sẽ là một số chẵn.
2. Cả hai số đều lẻ: Tổng cũng sẽ là một số chẵn.
3. Một số chẵn và một số lẻ: Tổng sẽ là một số lẻ.

Trong dãy số từ 1 đến 2022:
- Các số chẵn là: 2, 4, 6, ..., 2022 (tổng cộng là 1011 số chẵn).
- Các số lẻ là: 1, 3, 5, ..., 2021 (tổng cộng cũng là 1011 số lẻ).

Khi ta xoá đi hai số bất kỳ và viết lên bảng tổng của hai số đó, thì số còn lại (tổng của tất cả các số từ 1 đến 2022 trừ đi hai số đó) sẽ phụ thuộc vào tính chất của tổng.

Tổng của các số từ 1 đến 2022 có thể tính bằng công thức tổng cấp số cộng:

Tổng = (số số hạng) × (số hạng đầu + số hạng cuối) / 2
= 2022 × (1 + 2022) / 2
= 2022 × 1011 = 2043211, một số lẻ.

Nếu tổng tất cả các số nguyên từ 1 đến 2022 là một số lẻ mà ta xoá đi hai số và viết trên bảng tổng của chúng, việc này sẽ ảnh hưởng đến tính chẵn lẻ của số còn lại.

Nếu ta ghi tổng của hai số là chẵn, kết quả sẽ là một số lẻ (lẻ - chẵn = lẻ). Nếu ta ghi tổng của hai số là lẻ, thì kết quả sẽ là một số chẵn (lẻ - lẻ = chẵn).

Vì tổng của 2022 số ban đầu là lẻ, khi trừ đi một số lẻ mà ta có được từ tổng của hai số, số còn lại sẽ là chẵn:

- Nếu tổng của hai số đó là chẵn, thì số còn lại sẽ là lẻ.
- Nếu tổng của hai số đó là lẻ, thì số còn lại sẽ là chẵn.

Tuy nhiên, bởi vì chúng ta xoá hai số, số còn lại sẽ củng cố khả năng là số lẻ chỉ khi cả hai số vừa xoá đều là lẻ (thì tổng của hai số sẽ là chẵn và do đó số còn lại trở thành chẵn).

Dù sao, điều quan trọng là tổng ban đầu là lẻ và chúng ta đã xoá hai số. Bởi vậy số còn lại luôn là lẻ.

Vì vậy, số còn lại sẽ là số lẻ.