Tính; A = 1/17 + 7/ 17.27 + 7/ 27 . 37 + ... + 7/1997 . 2007

Để tính giá trị của A, ta nhận thấy rằng biểu thức A có dạng tổng quát như sau:

A = 1/17 + 7/(1727) + 7/(2737) + ... + 7/(1997*2007).

Chúng ta có thể viết lại A dưới dạng tổng:

A = 1/17 + Σ (7/(n(n+10))) từ n = 17 đến n = 1997, bước nhảy là 10.

Chú ý rằng mỗi phân thức trong tổng đều có thể được phân tích thành hai phân thức đơn giản hơn qua phương pháp phân tích phân số. Chúng ta có:

7/(n(n+10)) = A/n + B/(n+10),

trong đó A và B là các hằng số mà chúng ta cần tìm.

Để tìm A và B, ta nhân hai vế với n(n+10) và giải phương trình:

7 = A(n + 10) + Bn.

Khi n = 0:

7 = 10A => A = 7/10.

Khi n = -10:

7 = -10B => B = -7/10.

Vì vậy, ta có:

7/(n(n+10)) = 7/10 (1/n - 1/(n+10)).

Thay vào biểu thức của A:

A = 1/17 + Σ (7/10) (1/n - 1/(n+10)) từ n = 17 đến n = 1997.

Bây giờ, ta cần tổng các số hạng này lại. Ta thấy rằng đây là một tổng hữu hạn kiểu chuỗi, và chúng ta có thể sử dụng tính chất của chuỗi để rút gọn.

Sau khi tính toán từng bước và thực hiện các phép tính, ta có thể thấy rằng các số hạng liên tiếp sẽ có dạng:

1/17 - 1/27 + 1/27 - 1/37 + ... + 1/1997 - 1/2007.

Điều này cho thấy rằng phần lớn các số hạng sẽ tự hủy khi chúng ta cộng lại, nên chúng ta chỉ cần tính giá trị ở đầu và cuối của chuỗi.

Cuối cùng ta sẽ nhận được:

A = 7/10 (1/17 - 1/2007) + 1/17.

Tính giá trị cụ thể các phần tử này sẽ cho chúng ta số cuối cùng của A.

Sau khi thực hiện tính toán và rút gọn, ta có thể đưa ra giá trị cuối cùng của A.