Giúp mình với!!!!!!!!!!

a) Để chứng minh A chia hết cho 31, ta xem xét biểu thức A = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^8.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 5 và số hạng cuối là 5^8. Ta có số hạng cuối là 5^8, vì vậy số hạng của cấp số cộng này là 9.

Công thức tổng của cấp số cộng là:

S = n/2 * (a + l)

Trong đó:
- n là số hạng (ở đây n = 9)
- a là số hạng đầu (ở đây a = 1)
- l là số hạng cuối (ở đây l = 5^8)

Áp dụng công thức:

S = 9/2 * (1 + 5^8)

Cần tìm S mod 31. Ta cần tính 5^8 mod 31 trước:

5^1 ≡ 5 (mod 31)
5^2 ≡ 25 (mod 31)
5^3 ≡ 125 ≡ 1 (mod 31)

Vì 5^3 ≡ 1 (mod 31), ta có:

5^6 ≡ (5^3)^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 31)
5^8 ≡ 5^(32 + 2) ≡ (5^3)^2 5^2 ≡ 1 * 25 ≡ 25 (mod 31)

Vậy A = 9/2 (1 + 25) = 9/2 26 = 9 * 13 = 117.

Kiểm tra xem 117 chia hết cho 31 không:

117 mod 31 = 24. (Vì 117 - 3*31 = 24).

Do vậy, trong trường hợp này, A không chia hết cho 31.

b) Chứng minh A chia hết cho 6 với A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100.

Ta có thể viết A dưới dạng cấp số nhân:

A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100 = 2^2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(98)).

Số hạng trong ngoặc là một cấp số nhân vô hạn, và có thể tính được bằng công thức tổng:

T = a * (q^n - 1) / (q - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu (a = 1)
- q là tỉ lệ chung (q = 2)
- n là số hạng (n = 99)

T = 1 * (2^99 - 1) / (2 - 1) = 2^99 - 1.

Vậy A = 2^2(2^99 - 1) = 4 * (2^99 - 1).

Ta chú ý rằng 2^99 - 1 chia hết cho 3 (theo định lý Fermat, bởi vì 2^(3-1) ≡ 1 mod 3). Điều này cho thấy 4*(2^99 - 1) cũng chia hết cho 3.

Rõ ràng, A chia hết cho 2. Do đó, A chia hết cho 6.

c) Cho A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^101. Chứng minh A chia hết cho 13.

Nhìn vào A, đây cũng là một cấp số cộng:

A = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^101.

Vì đây là cấp số nhân, ta có thể tính tổng bằng công thức:

S = a * (q^(n+1) - 1) / (q - 1)

Ở đây:
- a = 1 (số hạng đầu)
- q = 3 (tỉ lệ chung)
- n = 101

Thay vào công thức:

A = 1 * (3^(101 + 1) - 1) / (3 - 1) = (3^102 - 1) / 2.

Để xem A chia hết cho 13 hay không, ta kiểm tra 3^102 mod 13:

Theo định lý Fermat, vì 3^12 ≡ 1 (mod 13), ta tính 102 mod 12, ta có 102 = 8 mod 12 (bởi vì 102 - 8*12 = 6).

Do đó, 3^102 ≡ 3^6 mod 13. Tính:

3^2 ≡ 9 (mod 13)
3^4 ≡ 9^2 ≡ 81 ≡ 3 (mod 13)
3^6 ≡ 3^4 3^2 ≡ 3 9 ≡ 27 ≡ 1 (mod 13).

Vậy, 3^102 ≡ 1 (mod 13), và do đó, ta có:

3^102 - 1 ≡ 0 (mod 13).

Vì thế:

A = (3^102 - 1) / 2 chia hết cho 13.

Như vậy, A chia hết cho 13.