A=1+4+4²+4ᶟ+...+4^2021, CHIA HẾT CHO 21

Để giải bài toán A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4^2021, trước tiên, hãy nhận ra đây là một cấp số nhân. Công thức tổng quát của tổng một cấp số nhân với số hạng đầu là a, công bội là r, và số hạng cuối là n sẽ là:

S_n = a * (1 - r^(n+1)) / (1 - r).

Trong trường hợp này:
- a = 1 (số hạng đầu tiên)
- r = 4 (công bội)
- n = 2021 (chỉ số của số hạng cuối là 2021)

Áp dụng công thức chúng ta có:

A = 1 * (1 - 4^(2022)) / (1 - 4) = (1 - 4^(2022)) / (-3) = (4^(2022) - 1) / 3.

Tiếp theo, để giải bài toán "chia hết cho 21", ta cần kiểm tra xem (4^(2022) - 1) / 3 có chia hết cho 21 hay không.

Trước tiên, chúng ta xem xét (4^n - 1). Theo tính chất số học, nếu n là số chẵn, thì 4^n - 1 sẽ chia hết cho 3 và 4^n - 1 cũng chia hết cho 5. Chúng ta xem xét tính chất này:

4^n - 1 chia hết cho 3:
4 ≡ 1 (mod 3) => 4^n ≡ 1 (mod 3) => 4^n - 1 ≡ 0 (mod 3).

4^n - 1 sẽ chia hết cho 5 đối với n là số chẵn:
4 ≡ -1 (mod 5) => 4^2 ≡ 1 (mod 5) => 4^n ≡ 1 (mod 5) khi n chẵn => 4^n - 1 ≡ 0 (mod 5).

Bây giờ xem xét A = (4^(2022) - 1) / 3. Chúng ta cần tính xem (4^(2022) - 1) có chia hết cho 63 (vì 21 = 3 * 7) hay không.

Kiểm tra với mod 7:
Bảng tính = 4 mod 7 sẽ lặp lại với chu kỳ 3:
- 4^1 ≡ 4
- 4^2 ≡ 2
- 4^3 ≡ 1.
Nên:
- 4^0 ≡ 1
- 4^1 ≡ 4
- 4^2 ≡ 2
=> 4^(2022 mod 3) = 4^0 ≡ 1 (mod 7).

Do đó:
4^(2022) - 1 ≡ 0 (mod 7), tức là chia hết cho 7.

Vì 4^(2022) - 1 chia hết cho cả 3 và 7 nên nó chia hết cho 21.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng A chia hết cho 21.