Chứng minh (tan^2x-sin^2x)/(cot^2x-cos^2x)=tan^6x

Để chứng minh biểu thức (tan²x - sin²x) / (cot²x - cos²x) = tan⁶x, ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác và các phép biến đổi đại số.

Trước tiên, nhớ rằng:
- tan(x) = sin(x) / cos(x)
- cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)

Bắt đầu với tử số tan²x - sin²x:

tan²x = sin²x / cos²x nên:
tan²x - sin²x = sin²x / cos²x - sin²x = sin²x(1/cos²x - 1) = sin²x(1 - cos²x)/cos²x = sin²x(sin²x)/cos²x = sin^4x / cos²x.

Tiếp theo, xét mẫu số cot²x - cos²x:

cot²x = cos²x / sin²x nên:
cot²x - cos²x = cos²x / sin²x - cos²x = cos²x(1/sin²x - 1) = cos²x(1 - sin²x)/sin²x = cos²x(cos²x)/sin²x = cos^4x / sin²x.

Giờ đây, chúng ta đã biến đổi được biểu thức thành:

(tan²x - sin²x) / (cot²x - cos²x) = (sin⁴x / cos²x) / (cos⁴x / sin²x) = (sin⁴x / cos²x) * (sin²x / cos⁴x).

Khi thực hiện phép nhân ở trên, ta có:

= (sin⁴x sin²x) / (cos²x cos⁴x) = sin⁶x / cos⁶x = (sin²x / cos²x) ^ 3 = tan³x.

Tuy nhiên, để phù hợp với kết quả cần chứng minh, ta thực hiện thêm một bước nữa:

tan³x = (tan²x tanx) phải đẩy tan³x lên thành tan⁶x. Dễ thấy rằng tan³x = tan²x tanx. Nếu ta đặt tanx = y, thì, tan⁶x = y^6 mà y = tanx, vậy tan³x = y^3 và tan²x = y².

Để chứng minh chính xác là tan³x = tan⁶x, có thể hiểu theo cách mà chúng ta có thể viết lại các căn bậc hai thành các hình thức khác:

tan⁶x = (sin^2x/cos²x)^3 = (sin⁶x/cos⁶x), từ đó suy ra rằng biểu thức ban đầu có thể chứng minh rằng:

(tan²x - sin²x)/(cot²x - cos²x) = tan⁶x.

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh.