cho tam giác ABC nhọn các đường cao BE CF cắt nhau tại H. gọi M là trung điểm BC. từ B kẻ BK vuông góc AB và từ C kẻ CK vuông góc AC. từ H vẽ HG vuông góc BC. trên tia HG lấy I sao cho HG=HI.

Để chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh BIK và CK song song và có cùng chiều dài.

Ta đã bắt đầu với tam giác ABC nhọn, với các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. Khi đó, giới thiệu một số định nghĩa và ký hiệu cần thiết:

1. K là điểm mà đường vuông góc từ B đến AB cắt tại điểm K.
2. G là điểm mà đường vuông góc từ H đến BC, với HG vuông góc với BC.

Một điểm quan trọng là I, nằm trên tia HG, sao cho HI = HG.

Ta biết rằng:

- BE và CF là đường cao, tức là BE vuông góc với AC và CF vuông góc với AB.
- Do H là giao điểm của BE và CF, nên H nằm trên cả hai đường cao này.
- M là trung điểm của BC, do đó BM = MC.

Tiếp theo, ta sẽ xem xét các tam giác và hình vuông để chứng minh rằng BIKC là hình thang cân.

Chứng minh:

1. Xét tam giác BHK và CHG:
- Do BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC:
- ∠BKH = 90 độ và ∠CHG = 90 độ.
- Điều này nghĩa là BM là trung điểm của BC dẫn đến MB = MC.

2. Chiều dài HG:
- Bằng cách kéo dài HG đến I sao cho HI = HG, ta có HI = HG.
- Do H nằm trên BC nên HG vuông góc với BC. Vậy G sẽ chia đoạn BI thành hai phần bằng nhau.

3. Tính chất song song:
- Chúng ta biết rằng BIK và CK là các đoạn thẳng nằm trên các đường vuông góc từ H, dẫn đến:
- ∠BHK = ∠CHG = 90 độ.
- Do đó, hai đoạn vô hướng từ B đến K và từ C đến K sẽ chênh lệch 90 độ, đảm bảo rằng BIK và CK song song.

4. Chứng minh rằng BI = CK:
- Xem xét rằng HG = HI và K là nơi mà hai đường vuông góc từ B và C cắt nhau. Như vậy, đoạn thẳng BI và đoạn thẳng CK cũng bằng nhau do cùng thuộc vào một đường vuông góc mà H tạo ra, dẫn đến BI = CK.

Với các thuộc tính trên, chúng ta đã xác định được rằng tứ giác BIKC có BIK // CK và BI = CK, chứng tỏ rằng BIKC là một hình thang cân.