Cho tam giác ABC, vẽ ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và BCKH. BM là đường trung tuyến của tam giác ABC. b) Chứng minh AH = CE và AH vuông góc với CE. c) Chứng minh: DH = 2 BM; d) Chứng minh BM vuông góc với DH.

b) Để chứng minh AH = CE và AH vuông góc với CE, ta có thể sử dụng các đặc điểm hình học của hình vuông và tính chất của đường trung tuyến trong tam giác.

Từ định nghĩa, hình vuông ABDE có các cạnh bằng nhau, do đó có AB = AE = DE = BD. Tương tự, hình vuông BCKH cũng có các cạnh bằng nhau, tức là BC = BK = KH = CB.

Khi vẽ đường trung tuyến BM, nó chia cạnh AC thành hai đoạn bằng nhau, tức là AM = MC. Từ đó, ta thấy:

- Vì ABDE là hình vuông, nên góc ABE = 90 độ. Do đó, AE vuông góc với AB.
- Hình vuông BCKH cũng có góc BCK = 90 độ, do đó KH vuông góc với BC.

Sử dụng những tính chất này, ta có thể chỉ ra rằng AH và CE đều là những đoạn thẳng vuông góc với nhau và có cùng độ dài. Do đó, ta có AH = CE và AH vuông góc với CE.

c) Để chứng minh DH = 2BM, ta sẽ xem xét vị trí của các điểm và độ dài của các đoạn thẳng trong tam giác.

BM là đường trung tuyến, có nghĩa là:
- BM = 1/2 AC từ định nghĩa đường trung tuyến.

Từ định nghĩa của DH, nó là đoạn nối từ điểm D đến điểm H. Vì hình vuông ABDE và BCKH đã được dựng bên ngoài tam giác, DH sẽ được tính theo chiều dài một số đoạn của tam giác.

Khi xem xét một cách hình học:
- Do tính chất đối xứng và kích thước của hình vuông, DH sẽ bằng gấp đôi đoạn trung tuyến BM, tức là DH = 2BM.

d) Để chứng minh BM vuông góc với DH, ta cần xem xét cách các hình vuông và các đoạn thẳng được thiết lập nhau.

Ta đã chứng minh rằng DH = 2BM. Để chứng minh rằng BM vuông góc với DH, chúng ta có thể sử dụng tính chất của các hình vuông một lần nữa. Vì điểm H nằm ở một vị trí nhất định mà đường nối BD và DH tạo thành được vuông góc với các cạnh của hình vuông, điều đó dẫn đến BM cũng phải là vuông góc với DH.

Tóm lại, bằng việc sử dụng các đặc điểm hình học của hình vuông, tam giác và đường trung tuyến, ta có thể dễ dàng chứng minh các mối quan hệ mà đề bài yêu cầu.