Cho phương trình sin (2x) = sin (x+3π/4) tính tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình trên.

Để giải phương trình sin(2x) = sin(x + 3π/4), ta có thể sử dụng tính chất của hàm sin. Theo tính chất này, nếu sin A = sin B thì sẽ có các nghiệm:

1. A = B + 2kπ
2. A = π - B + 2kπ

với k là số nguyên.

Gọi A = 2x và B = x + 3π/4. Ta có hai hệ phương trình sau:

1. 2x = x + 3π/4 + 2kπ
2. 2x = π - (x + 3π/4) + 2kπ

Giải phương trình đầu tiên:

2x = x + 3π/4 + 2kπ
=> x = 3π/4 + 2kπ

Giải phương trình thứ hai:

2x = π - x - 3π/4 + 2kπ
=> 2x + x = π - 3π/4 + 2kπ
=> 3x = π/4 + 2kπ
=> x = π/12 + (2/3)kπ

Bây giờ, tìm các nghiệm trong khoảng (0; 2π).

Với x = 3π/4 + 2kπ:
- Với k = 0: x = 3π/4 (thỏa mãn)
- Với k = 1: x = 3π/4 + 2π = 3π/4 + 8π/4 = 11π/4 (không thỏa mãn vì 11π/4 > 2π)

Với x = π/12 + (2/3)kπ:
- Với k = 0: x = π/12 (thỏa mãn)
- Với k = 1: x = π/12 + 2/3π = π/12 + 8/12 = 9π/12 = 3π/4 (đã thỏa mãn ở trên)
- Với k = 2: x = π/12 + 2 * 2/3π = π/12 + 16/12 = 17π/12 (thỏa mãn)
- Với k = 3: x = π/12 + 3 * 2/3π = π/12 + 24/12 = 25π/12 (không thỏa mãn vì 25π/12 > 2π)

Các nghiệm trong khoảng (0, 2π) là:
1. π/12
2. 3π/4
3. 17π/12

Tính tổng các nghiệm này:
Tổng = π/12 + 3π/4 + 17π/12

Đưa về cùng mẫu số:
Tổng = π/12 + 9π/12 + 17π/12 = (1 + 9 + 17)π/12 = 27π/12 = (9/4)π.

Vậy tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình là (9/4)π.