Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H xuống AB, AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, AH cắt PQ ở O. a) Tứ giác APHQ là hình gì? b)

a) Để xác định tứ giác APHQ, trước tiên ta nhận thấy rằng A là đỉnh của tam giác vuông ABC tại A và H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC. Khi H được chiếu xuống AB tại P và AC tại Q, ta có thể xét các đoạn thẳng AP, AH, PQ và HQ.

Tứ giác APHQ được tạo thành từ các điểm A, P, H và Q. Xét tứ giác này, ta có:

- AP là đoạn thẳng nối giữa đỉnh A và hình chiếu của H xuống AB.
- HQ là đoạn thẳng nối giữa H và hình chiếu của H lên AC.

Bởi vì AH vuông góc với BC (đường cao của tam giác vuông), nên các góc tại H (góc AHP và góc AHQ) đều vuông. Do đó, tứ giác APHQ là một tứ giác có hai cặp cạnh vuông góc với nhau, nên nó là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh góc KPQ = 90 độ và PI song song với QK, ta sẽ phân tích vị trí của các điểm K, P, Q.

- K là trung điểm của HC, do đó, ta có HK = KC.
- P là hình chiếu của H lên AB, tức là HA vuông góc với AB, và K nằm trên AC (AO vuông góc với PQ).

Góc tại K là góc giữa các đoạn thẳng KH và KP. Chúng ta có:

- Đường thẳng KP vuông góc với đường thẳng AB (tại điểm P), và
- Đường thẳng QK vuông góc với CQ (do K nằm trên AC).

Khi đó, khi xét tứ giác KHPQ, góc KHP là 90 độ và góc PKQ cũng vuông góc.

Từ đó, góc KPQ = góc KPH + góc PHQ = 90 độ + 90 độ = 90 độ. Như vậy, chúng ta có thể kết luận góc KPQ = 90 độ.

Đối với điều phải chứng minh rằng PI song song với QK: Nếu P và Q đều nằm trên các đường thẳng vuông góc với PQ thì PI cũng sẽ vuông góc với AB, tức là PI song song với QK do cùng tạo thành các góc vuông.

c) Để chứng minh tam giác KQH là tam giác cân, ta cần chứng minh rằng hai cạnh KQ và KH bằng nhau.

Ta có:

- K là trung điểm của HC, vì vậy HK = KC.
- Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông: AHB và AHC. Mỗi tam giác này đều có đường cao từ A với H.

Để chứng minh KQ = KH, ta xét góc KHA:

- Góc KHA là góc vuông (bởi AH vuông góc với BC), và KH là nửa của HC. Do đó, tam giác KHA sẽ có cạnh KA = 1/2 HC (tức là KQ sẽ trên cùng chỉ một đường cao).

Như vậy, KQ = KH. KQ = KH chứng minh rằng tam giác KQH là tam giác cân.