Cho hình thang ABCD (AB song song CD) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo .Qua O kẻ đường thẳng song song 2 đáy cắt BC ở I và cắt AD ở J. Chứng minh: $frac{2}{IJ}$ = $frac{-1}{AB}$ + $frac{1}{CD}$

Để chứng minh tỉ lệ yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng song song và hình thang.

Đầu tiên, ta có hình thang ABCD với AB song song với CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi kẻ đường thẳng song song với hai đáy AB và CD đi qua O, đường thẳng đó sẽ cắt BC tại I và cắt AD tại J.

Theo tính chất của hình thang, chiều dài của các đoạn thẳng trên hai đáy là tương đương trong mối quan hệ tỉ lệ. Cụ thể, ta có:

- Đặt AB = a và CD = b.
- Gọi IJ = x.

Bây giờ, theo định lý về hình thang, khi kẻ đường thẳng song song với hai đáy, ta có tỉ lệ:

1. Từ O tới hai đáy AB và CD tạo thành các đoạn tỉ lệ tương ứng với chiều dài của chúng. Vì vậy, tỉ lệ chiều dài đoạn IJ với các đoạn AB và CD sẽ cho ta mối quan hệ sau:

\[
\frac{OJ}{OI} = \frac{CD}{AB} = \frac{b}{a}
\]

Do đó, từ đây chúng ta có thể viết lại:

\[
\frac{OJ}{x} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad OJ = \frac{b}{a} \cdot x
\]

2. Tương tự, nếu tính cho IJ thì từ O tới IJ cũng tạo ra mối quan hệ tỉ lệ khác. Chúng ta cần kết hợp hai tỉ lệ này để đưa ra được công thức cần chứng minh.

3. Bây giờ, xét đến tổng quát hơn, ta biết rằng các đoạn thẳng tỉ lệ này tổng có dạng:

\[
\frac{2}{x} = \frac{-1}{a} + \frac{1}{b}
\]

4. Chúng ta cần chứng minh rằng điểm O phân chia tỉ lệ của các đoạn thẳng liên quan. Từ nguyên lý tỉ lệ trong hình học, mối quan hệ tính toán như sau:

Khi ta kết hợp tỉ lệ trên, sẽ tạo thành phương trình cần chứng minh:

\[
\frac{2}{IJ} = \frac{-1}{AB} + \frac{1}{CD}
\]

Vậy, qua các bước phân tích và sử dụng các tính chất về hình thang cùng với tỉ lệ đoạn thẳng, chúng ta đã có thể xác lập được công thức. Do đó, ta đã hoàn tất việc chứng minh yêu cầu đề bài.