Cho `P=(x^2+x)/(x^2-2x+1):((x+1)/x+1/(x-1)+(2-x^2)/(x^2-x)) ( x!=0;x!=+-1)` `a)` Thu gọn `(` Đáp án `:P=(x^2)/(x-1))` `b)` GTNN của `P` khi `x>1` `@` Chỉ làm câu `b)` thôi nhé ạ `@` Ngle: Good luck!

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( P \) khi \( x > 1 \), trước tiên ta bắt đầu từ biểu thức đã được thu gọn:

\( P = \frac{x^2}{x-1} \).

Bây giờ, để tìm GTNN của \( P \) trong khoảng \( x > 1 \), ta có thể dùng cách lấy đạo hàm để tìm giá trị cực tiểu.

1. Tính đạo hàm của \( P \):

\( P = \frac{x^2}{x-1} \).

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\( P' = \frac{(x-1)(2x) - x^2(1)}{(x-1)^2} \).

Đơn giản hóa biểu thức:

\( P' = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \).

Khi rút gọn:

\( P' = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \).

2. Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( P' = 0 \):

\( x^2 - 2x = 0 \).

Factoring:

\( x(x - 2) = 0 \).

Ta có hai nghiệm: \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Tuy nhiên, vì chúng ta chỉ xét trường hợp \( x > 1 \) nên chỉ lấy nghiệm \( x = 2 \).

3. Xét dấu của đạo hàm:

Ta cần xác định dấu của \( P' \) trên khoảng \( (1, +\infty) \):

- Chọn một giá trị trong khoảng này, ví dụ \( x = 3 \):

\( P' = \frac{(3)^2 - 2(3)}{(3-1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0 \).

- Kiểm tra cho \( x = 1.5 \):

\( P' = \frac{(1.5)^2 - 2(1.5)}{(1.5-1)^2} = \frac{2.25 - 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} < 0 \).

Vậy \( P' < 0 \) khi \( 1 < x < 2 \) và \( P' > 0 \) khi \( x > 2 \). Điều này cho thấy \( P \) đạt giá trị cực tiểu tại \( x = 2 \).

4. Tính \( P \) tại \( x = 2 \):

\( P(2) = \frac{2^2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 \).

Vậy GTNN của hàm số \( P \) khi \( x > 1 \) là \( 4 \).