hộ vóiiiiiiiiiiiii   làm ơnnnnnnnnnnnnnn

a) Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:

x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx.

Ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

(x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) ≥ (x + y + z)^2.

Từ đây, ta có:

3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ (x + y + z)^2.

Trong đó, (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx).

Thay vào bất đẳng thức trên:

3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx).

Rút gọn, ta nhận được:

2(x^2 + y^2 + z^2) ≥ 2(xy + yz + zx).

Chia hai vế cho 2, ta có:

x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx.

Vậy điều phải chứng minh đã được chứng minh.

b) Nhằm chứng minh:

x^2 + y^2 + z^2 ≥ 2xy + 2yz - 2zx.

Chúng ta có thể biến đổi như sau:

x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2zx ≥ 0.

Tập hợp các hạng tử, ta có:

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 ≥ 0.

Đây là một bất đẳng thức mà ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm. Vậy ta có:

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 ≥ 0.

Điều này chứng tỏ rằng bất đẳng thức đã được chứng minh.

c) Đối với bất đẳng thức:

x^2 + y^2 + z^2 + 3 ≥ 2(x + y + z).

Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa.

Áp dụng như sau:

x^2 + y^2 + z^2 + 1 + 1 + 1 ≥ 2(x + y + z).

Ta có:

x^2 + y^2 + z^2 + 3 ≥ 2(x + y + z).

Vì bất đẳng thức bình phương cũng cho kết quả không âm. Vậy điều phải chứng minh đã được chứng minh.