Bài 33: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 5 cm, C = 40°. a) Giải ΔABC. (Hình 10) b) Vẽ đường cao AD, từ D kẻ DE ⊥ AC, DF ⊥ AB. Chứng minh AF · AB = AE · AC.

a) Giải ΔABC:

ΔABC vuông tại A, với AB = 5 cm và C = 40°.

- Bước 1: Xác định góc B:
Vì ΔABC vuông tại A, nên góc B = 90° - góc C = 90° - 40° = 50°.

- Bước 2: Sử dụng hàm sin và cos để tìm các cạnh còn lại:
- Góc C = 40°:
- Sin(40°) = AC/AB
- Sin(40°) = AC/5
- AC = 5 sin(40°) ≈ 5 0.6428 ≈ 3.214 cm

- Góc B = 50°:
- Cos(50°) = BC/AB
- Cos(50°) = BC/5
- BC = 5 cos(50°) ≈ 5 0.6428 ≈ 3.214 cm

Do đó:
- AC ≈ 3.214 cm
- BC ≈ 3.214 cm

b) Chứng minh AF · AB = AE · AC:

- Vẽ đường cao AD, từ D kẻ DE ⊥ AC, DF ⊥ AB:

ΔABC có đường cao AD, với D là chân đường cao từ A xuống BC. Đường thẳng DE ⊥ AC và DF ⊥ AB.

- Phân tích hình học:

- ΔABD và ΔADC đều vuông tại D.
- ΔADE và ΔADF đều vuông tại D.
- ΔAED và ΔAFD đều vuông tại E và F tương ứng.

- Sử dụng định lý Pythagore và tính chất tương đồng:

- Trong ΔADE và ΔADF:
- DE ⊥ AC, DF ⊥ AB, nên DE là đường cao của ΔADC và DF là đường cao của ΔABD.
- AE = AD sin(∠DAE) và AF = AD cos(∠DAF).

- Từ đó, ta có:
- AE = AD sin(∠DAE) = AD sin(∠C)
- AF = AD cos(∠DAF) = AD cos(∠B)

- Vì ΔABC vuông tại A:
- AB = AD cos(∠B) và AC = AD sin(∠C)

- Chứng minh:
- AE AC = (AD sin(∠C)) (AD sin(∠C)) = AD^2 * sin^2(∠C)
- AF AB = (AD cos(∠B)) (AD cos(∠B)) = AD^2 * cos^2(∠B)

Vì ∠B + ∠C = 90°, ta có:
- sin^2(∠C) = cos^2(∠B)

Do đó:
- AE AC = AF AB

Vậy, ta đã chứng minh được AF · AB = AE · AC.