Giải chi tiết đề này

a) Đối với hàm số y = 2x³ + x² - 8x + 7, chúng ta sẽ làm theo các bước sau để khảo sát và vẽ đồ thị.

1. Tìm các đặc điểm của hàm số:
- Bậc của hàm số là 3, do đó đồ thị có thể có tối đa 2 điểm cực trị (cực đại và cực tiểu).

2. Tính đạo hàm y':
- y' = 6x² + 2x - 8.

3. Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị:
- 6x² + 2x - 8 = 0.
- Chia cả phương trình cho 2: 3x² + x - 4 = 0.
- Áp dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
- a = 3, b = 1, c = -4.
- Tính Δ = 1² - 43(-4) = 1 + 48 = 49.
- Nghiệm x1 = (−1 + √49) / 6 = 2/3 và x2 = (−1 - √49) / 6 = -2.

4. Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:
- Tính y tại x1 và x2 để xác định giá trị cực đại và cực tiểu.
- y(2/3) = 2(2/3)³ + (2/3)² - 8(2/3) + 7 = 2(8/27) + 4/9 - 16/3 + 7.
- y(-2) = 2(-2)³ + (-2)² - 8(-2) + 7 = -16 + 4 + 16 + 7 = 11.

5. Các khoảng đồng biến và nghịch biến:
- Từ đạo hàm y', xét dấu của y':
- Tìm nghiệm để phân tích khoảng: từ x = -∞ đến x = -2, y' dương; từ x = -2 đến x = 2/3, y' âm; từ x = 2/3 đến x = +∞, y' dương.
- Cực đại tại x = -2, cực tiểu tại x = 2/3.

6. Tìm các điểm giao và trục hoành, trục tung để lấy thêm điểm vẽ:
- Giải y = 0: 2x³ + x² - 8x + 7 = 0.
- Tìm y(0) = 7; x-axis交点 cần tìm qua phương trình bậc 3.

7. Vẽ đồ thị: Có điểm cực đại tại (-2, 11), cực tiểu tại (2/3, giá trị tính được), xác định các điểm trên trục hoành, trục tung.

b) Đối với hàm số y = (2x - 5) / (x + 1):

1. Tìm tập xác định:
- Tập xác định là tất cả các x khác -1 (x ≠ -1) vì mẫu không thể bằng 0.

2. Xét tính liên tục và đồng biến, nghịch biến:
- Tính đạo hàm y':
- y' = ((x + 1)(2) - (2x - 5)(1)) / (x + 1)².
- Sau khi tính toán: y' = (2x + 2 - 2x + 5) / (x + 1)² = 7 / (x + 1)².

3. Phân tích dấu của y': luôn dương với tất cả x hợp lệ (x ≠ -1). Điều này cho thấy hàm đồng biến trên miền xác định của nó.

4. Tìm giới hạn của hàm số khi x tiến ra vô cùng và gần -1:
- Khi x → ∞ hay x → -∞, y → 2 (có đường tiệm cận y = 2).
- Giới hạn khi x tiến đến -1: y → ∞ hoặc –∞.

5. Tìm các điểm giao trục hoành và trục tung:
- Tìm y(0) và x cho y = 0.

6. Vẽ đồ thị: Đồ thị có dạng của một hàm bậc nhất phân số đồng biến, tiệm cận ngang tại y = 2 và tiệm cận dọc tại x = -1.

Cả hai hàm số đều có những đặc điểm nổi bật có thể xác định rõ ràng từ việc khảo sát như trên.