Bài 4 (0,5 điểm):Chứng tỏ A chia hết cho 6 với A = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2100. làm hộ mình

Để chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2100 chia hết cho 6, trước hết chúng ta sẽ tính tổng A. Tổng này là một dãy số hình thành bởi tổng các số 2^k với k biến từ 1 đến 100.

Ta có:

A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100

Đây là một dãy số géo với b = 2 và số hạng đầu tiên là 2^1. Công thức tổng của dãy số hình học được sử dụng như sau:

S_n = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu tiên (2^1 = 2)
- r là tỷ lệ (2)
- n là số số hạng (100)

Áp dụng công thức ta có:

A = 2 (2^100 - 1) / (2 - 1) = 2 (2^100 - 1)

A = 2 * (2^100 - 1) = 2^101 - 2

Để chứng minh A chia hết cho 6, ta cần chứng minh A chia hết cho cả 2 và 3 (vì 6 = 2 * 3).

1. Chứng minh A chia hết cho 2:
2^101 - 2 rõ ràng chia hết cho 2 vì cả hai số hạng đều chia hết cho 2.

2. Chứng minh A chia hết cho 3:
Ta sẽ xét A mod 3. Đầu tiên, ta chứng minh 2^k mod 3 với các giá trị của k:
- 2^1 mod 3 = 2
- 2^2 mod 3 = 1
- 2^3 mod 3 = 2
- 2^4 mod 3 = 1
- ...

Từ đây, ta thấy rằng 2^k mod 3 tuần hoàn với chu kỳ 2 (có dạng: 2, 1).

Khi k là số lẻ, 2^k mod 3 = 2. Khi k là số chẵn, 2^k mod 3 = 1.
Trong 100 số từ 2^1 đến 2^100, có 50 số lẻ và 50 số chẵn.

Vì vậy, tổng A mod 3 sẽ là:
50 2 + 50 1 = 100 mod 3 = 1

Do đó, tổng A mod 3 không chia hết cho 3.

Khi thiếu số hạng lấy từ 2 x (2^k - 1), ta thấy tổng A = 2 * (2^100 - 1) cũng sẽ không chia hết cho 3.

Vì vậy, chính xác là A không chia hết cho 6.