((x-2)^{3}=27(x-1)^{3})

Để giải phương trình \((x-2)^{3} = 27(x-1)^{3}\), trước tiên ta có thể viết lại phương trình bằng cách chia cả hai bên cho \((x-1)^{3}\) (trong trường hợp \((x-1) \neq 0\)). Khi đó ta được:

\[
\frac{(x-2)^{3}}{(x-1)^{3}} = 27
\]

Điều này có thể được viết thành:

\[
\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^{3} = 27
\]

Tiếp theo, lấy căn bậc ba của cả hai bên, ta có:

\[
\frac{x-2}{x-1} = 3
\]

Giải phương trình này, ta nhân cả hai bên với \((x-1)\):

\[
x - 2 = 3(x - 1)
\]

Giải phương trình trên:

\[
x - 2 = 3x - 3
\]

Chuyển các biến về một bên:

\[
-2 + 3 = 3x - x
\]

\[
1 = 2x
\]

Chia cả hai bên cho 2, ta có:

\[
x = \frac{1}{2}
\]

Tiếp theo, ta cần kiểm tra xem rằng \(x = 1\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không, vì lúc chia cho \((x-1)^{3}\) ta đã giả sử \((x-1) \neq 0\).

Khi \(x = 1\):

\[
(1-2)^{3} = (-1)^{3} = -1
\]
\[
27(1-1)^{3} = 27(0) = 0
\]

Vì \( -1 \neq 0\), nên \(x=1\) không phải là nghiệm hợp lệ.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình \((x-2)^{3} = 27(x-1)^{3}\) là \(x = \frac{1}{2}\).