Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y=-x^4+2x^2-5 với x thuộc đoạn -1,3

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^4 + 2x^2 - 5 \) với \( x \) thuộc đoạn \([-1, 3]\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 - 5) = -4x^3 + 4x \]

2. Tìm các điểm cực trị:

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng không:

\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
\[ x(-4x^2 + 4) = 0 \]

Điều này cho ta các nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ -4x^2 + 4 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

3. Xác định tính chất của các điểm cực trị:

Ta sẽ kiểm tra dấu của đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm cực trị:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 4x) = -12x^2 + 4 \]

- Tại \( x = 0 \):
\[ y''(0) = -12(0)^2 + 4 = 4 > 0 \], điểm này là cực tiểu.

- Tại \( x = 1 \):
\[ y''(1) = -12(1)^2 + 4 = -8 < 0 \], điểm này là cực đại.

- Tại \( x = -1 \):
\[ y''(-1) = -12(-1)^2 + 4 = -8 < 0 \], điểm này cũng là cực đại.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các cận của đoạn:

- Tại \( x = 0 \):
\[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 - 5 = -5 \]

- Tại \( x = 1 \):
\[ y(1) = -1^4 + 2(1)^2 - 5 = -4 \]

- Tại \( x = -1 \):
\[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 - 5 = -4 \]

- Tại \( x = -1 \):
\[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 - 5 = -4 \]

- Tại \( x = 3 \):
\[ y(3) = -3^4 + 2(3)^2 - 5 = -81 + 18 - 5 = -68 \]

5. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

- Giá trị lớn nhất của \( y \) trên đoạn \([-1, 3]\) là \( -4 \) tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( y \) trên đoạn \([-1, 3]\) là \( -68 \) tại \( x = 3 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của \( y \) là \( -4 \) và giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( -68 \).